Deseja-se calcular
a) represente cada termo da soma através da representação decimal exata e some (faça na calculadora)
b) represente cada termo da soma supondo 3 algarismos na mantissa e use truncamento
c) some todos os termos do item b) da esquerda para direita arredondando após cada operação
d) some todos os termos do item b) da direita para esquerda arredondando após cada operação
a) represente cada termo da soma através da representação decimal exata e some (faça na calculadora)
b) represente cada termo da soma supondo 3 algarismos na mantissa e use truncamento
c) some todos os termos do item b) da esquerda para direita arredondando após cada operação
d) some todos os termos do item b) da direita para esquerda arredondando após cada operação
Passo 1
O enunciado pede que se calcule
As perguntas são:
(a) representar cada termo da soma por sua representação decimal exata e somar todos (usar calculadora);
(b) representar cada termo supondo que o formato de ponto flutuante tem mantissa com 3 algarismos significativos e que se usa truncamento (cortar dígitos além dos 3 significativos);
(c) somar todos os termos do item (b) da esquerda para a direita, arredondando (para mais ou para menos) o resultado para 3 algarismos significativos após cada operação;
(d) somar todos os termos do item (b) da direita para a esquerda, arredondando para 3 algarismos significativos após cada operação.
(a) representar cada termo da soma por sua representação decimal exata e somar todos (usar calculadora);
(b) representar cada termo supondo que o formato de ponto flutuante tem mantissa com 3 algarismos significativos e que se usa truncamento (cortar dígitos além dos 3 significativos);
(c) somar todos os termos do item (b) da esquerda para a direita, arredondando (para mais ou para menos) o resultado para 3 algarismos significativos após cada operação;
(d) somar todos os termos do item (b) da direita para a esquerda, arredondando para 3 algarismos significativos após cada operação.
Informações relevantes dadas (explícitas no enunciado):
- A sequência de termos é
. - No item (b) usar 3 algarismos na mantissa e truncamento (não arredondamento).
- Nos itens (c) e (d) usar os termos truncados do item (b) e, ao somar, arredondar para 3 algarismos significativos após cada operação.
Passo 2
(a) Primeiro, listar cada termo em representação decimal exata (cada termo é uma potência negativa de 2, que tem representação decimal exata com finitely many digits):
Para somar eficientemente: usar a fórmula da soma de uma PG geométrica com razão
. Para
vale
Aqui
e
. Então
Calculando
, obtemos a forma exata em fração
Convertendo para decimal (uso de “calculadora” pedido pelo enunciado):
Portanto a soma exata (decimal) é
. É interessante verificar somando os termos listados acima com uma calculadora obtém-se o mesmo valor.
Passo 3
Explicação didática sobre ponto flutuante, mantissa e operações pedidas:
- Em representação científica decimal normalizada um número positivo é escrito como
onde o mantissa satisfaz (ou, para números menores que 1, ainda assim o primeiro dígito de é diferente de zero). Os “algorismos na mantissa” significam o número de dígitos significativos que guardamos em . - Truncamento significa simplesmente cortar os dígitos após os primeiros
dígitos significativos (sem arredondar). Por exemplo, com , truncado para 3 dígitos é . - Arredondamento para
dígitos significa olhar para o -ésimo dígito significativo; se ele for aumenta-se o -ésimo dígito, caso contrário mantém-se. - Ao somar números em ponto flutuante mantém-se um formato com mesma quantidade de dígitos na mantissa. Para somar dois números faz-se o alinhamento de expoentes (desloca-se a mantissa do número com menor expoente), soma-se as mantissas, e depois normaliza-se e arredonda-se/trunca-se conforme a regra do formato.
Passo 4
(b) Representar cada termo supondo mantissa com 3 algarismos significativos e usando truncamento. Vou escrever cada termo em forma normalizada (mantissa com 3 dígitos) e também a forma decimal truncada correspondente (para facilitar as somas posteriores).
Para cada termo original listado no Passo 2, escrevo sua representação truncada a 3 dígitos significativos:
Observações sobre truncamento: cada mantissa acima tem exatamente 3 algarismos significativos e foi obtida cortando dígitos além desses três (sem arredondar).]
Passo 5
(c) Somar os termos do item (b) da esquerda para a direita, arredondando para 3 algarismos significativos após cada operação. Vou proceder passo a passo, mostrando a soma exata do passo e depois o resultado arredondado para 3 dígitos significativos (mantissa com 3 dígitos). Para clareza: os termos em decimal truncados do item (b) são
- Soma inicial:
-
. Arredondando para 3 dígitos significativos: (mantissa ). Então
-
. Arredondando para 3 dígitos significativos: (mantissa ). Então
-
. Arredondando para 3 dígitos significativos: olhamos para os dígitos significativos e o próximo é , então arredonda-se o terceiro dígito para cima: (mantissa ). Assim
-
. Arredondando para 3 dígitos significativos: (o quarto dígito é então não altera). Assim
-
. Arredondando para 3 dígitos significativos: dígitos e próximo faz o virar : . Então
-
. Arredondando para 3 dígitos significativos: (o quarto dígito é , então o terceiro dígito vira ). Assim
-
. Arredondando para 3 dígitos significativos: (terceiro dígito 6 com próximo 9 faz virar 7). Então
-
. Arredondando para 3 dígitos significativos: (terceiro dígito 8 com próximo 9 vira 9). Assim
-
. Arredondando para 3 dígitos significativos: representação normalizada é ; cortando para 3 dígitos e arredondando o terceiro com próximo provoca carry para produzir , ou seja . Logo
Resultado final da soma da esquerda para a direita (com os termos truncados do item b e arredondamento a 3 algarismos após cada soma) é
.
Passo 6
(d) Somar os termos do item (b) da direita para a esquerda, arredondando para 3 algarismos significativos após cada operação. Começar com o menor termo e subir:
Usarei novamente os termos truncados:
-
-
. Arredondando a 3 dígitos significativos: (pois os dígitos iniciais 2,9,2 e próximo 6 arredondam o terceiro para 3). Então
-
. Arredondando a 3 dígitos significativos: (já tem 3 dígitos significativos). Então
-
. Arredondando a 3 dígitos significativos: normalizar é ; com 3 dígitos fica (o quarto dígito é , não altera). Então
-
. Arredondando a 3 dígitos significativos: (mantém ). Então
-
. Arredondando a 3 dígitos significativos: (mantém ). Então
-
. Arredondando a 3 dígitos significativos: normalizado dá ; terceiro dígito com próximo faz arredondar para . Então
-
. Arredondando a 3 dígitos significativos: . Assim
-
. Arredondando a 3 dígitos significativos: . Então
-
. Arredondando a 3 dígitos significativos: . Logo o resultado final da soma da direita para a esquerda é .
Passo 7
Comentário final (didático e motivador): percebe-se que, mesmo partindo dos mesmos termos truncados (item b), a ordem de soma e a regra de arredondamento durante a soma afetam o resultado final: da esquerda para a direita obtivemos
, enquanto da direita para a esquerda obtivemos
. Isso ilustra um fenômeno clássico de aritmética de ponto flutuante: operações não são associativas quando há perda de precisão; somar valores pequenos primeiro (direita para a esquerda) costuma reduzir erros por cancelamento de dígitos, enquanto somar do maior para o menor (esquerda para a direita) pode levar a um acúmulo de arredondamentos que, neste caso particular, “empurra” o total para
. Você está indo bem — é exatamente esse tipo de detalhe que costuma cair em prova. Respira, revisa os passos devagar e lembre-se: praticar essas simulações à mão ajuda a fixar o conceito.
Resposta
(a)
(b) Termos com mantissa de 3 algarismos truncada:
(b) Termos com mantissa de 3 algarismos truncada:
(c) Soma da esquerda para a direita (arredondando após cada operação):
(d) Soma da direita para a esquerda (arredondando após cada operação):
(d) Soma da direita para a esquerda (arredondando após cada operação):