Efetue as seguintes operações em aritmética de ponto flutuante: considere truncamento após cada operação) com 3 dígitos de mantissa. Calcule os erros relativos e os erros absolutos de cada resposta e explique a razão de este erro ser grande. Exemplo: 4 / 5+1 / 3 valor exato =0.8+0.33333 \ldots .=1.1333333 \ldots valor aproximado =0.8+0.333=1.13 erro absoluto \mathrm{EA}=0.00333333 \ldots. erro relativo \mathrm{ER}=0.00333333 \ldots . / 1.13=0.0029490 \ldots.
c) (164-143)+(0.913-21)

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos (sem resolver ainda).
  • Pede-se efetuar a operação (164-143)+(0,913-21) em aritmética de ponto flutuante com mantissa de 3 dígitos e TRUNCAMENTO após cada operação.
  • Para cada resultado pedido, calcular o erro absoluto (EA) e o erro relativo (ER) e explicar por que o erro pode ser grande.
  • Dados iniciais (já na representação de entrada):
    • 164 (tem 3 dígitos, pode ser representado exatamente na mantissa de 3 dígitos)
    • 143 (tem 3 dígitos)
    • 0,913 (tem 3 dígitos significativos)
    • 21 (tem 2 dígitos; também é representável exato no formato com 3 dígitos)
  • Regra de arredondamento: usa-se TRUNCAMENTO (não arredondamento) para reduzir a mantissa a 3 dígitos significativos imediatamente após cada operação.

Passo 2

Breve explicação didática (o que significa “3 dígitos de mantissa” e “truncamento”) e definição de erros.
  • “3 dígitos de mantissa” aqui vamos interpretar como manter apenas 3 dígitos significativos em cada número resultante (ex.: 0,913 tem já 3 algarismos significativos; 164 tem 3).
  • Truncamento: quando um resultado tem mais de 3 dígitos significativos, corta-se (descarta-se) tudo após o terceiro dígito, sem arredondar.
  • Erros:
    • Erro absoluto: \mathrm{EA}=\left|\text{valor aproximado}-\text{valor exato}\right|.
    • Erro relativo: \mathrm{ER}=\dfrac{\mathrm{EA}}{|\text{valor exato}|} (quando o valor exato for diferente de zero).

Passo 3

Calcular a primeira suboperação \;164-143\;.
  • Cálculo exato: 164-143=21.
  • Representação com mantissa de 3 dígitos e truncamento: 21 já tem no máximo 3 dígitos significativos, logo a representação truncada é simplesmente 21.
  • Conclusão intermediária:
    • Valor exato da primeira suboperação: 21.
    • Valor armazenado (após truncamento): 21.
  • Erros desta etapa:
    • \mathrm{EA}_1=|21-21|=0.
    • \mathrm{ER}_1=0.

Passo 4

Calcular a segunda suboperação \;0,913-21\; seguindo a regra (truncamento após a operação).
  • Cálculo exato: 0,913-21=-20,087.
  • Agora aplicar truncamento a 3 dígitos significativos no resultado -20,087.
    • Olhamos os dígitos significativos do valor em módulo: 20{,}087 tem dígitos 2,0,0,8,7. Mantendo apenas os 3 primeiros dígitos significativos (truncamento) obtemos 20{,}0.
    • Assim o resultado truncado é -20{,}0.
  • Conclusão intermediária:
    • Valor exato da segunda suboperação: -20{,}087.
    • Valor armazenado (após truncamento): -20{,}0.
  • Erros desta etapa:
    • \mathrm{EA}_2=\left|-20{,}0-(-20{,}087)\right|=0{,}087.
    • \mathrm{ER}_2=\dfrac{0{,}087}{|{-}20{,}087|}=\dfrac{0{,}087}{20{,}087}\approx0{,}00433 (aprox. 0{,}433\%).

Passo 5

Somar os resultados truncados das duas suboperações: \; (164-143)_{\text{trunc}} + (0,913-21)_{\text{trunc}} \;.
  • Usamos os valores obtidos nos passos anteriores: 21 + (-20{,}0).
  • Soma exata desses valores (antes de novo truncamento): 21 + (-20{,}0)=1{,}0.
  • Aplicando truncamento de 3 dígitos ao resultado: 1{,}0 já tem \le 3 dígitos significativos, fica 1{,}0.
  • Resultado final aproximado (computado em aritmética de ponto flutuante com truncamento após cada operação): 1{,}0.

Passo 6

Calcular o valor exato da expressão sem nenhuma aproximação, para comparar.
  • Valor exato da expressão: (164-143)+(0,913-21)=21+(-20{,}087)=0{,}913.

Passo 7

Calcular os erros do resultado final e comentar por que o erro ficou grande.
  • Erro absoluto final: \mathrm{EA}_{\text{final}}=\left|1{,}0-0{,}913\right|=0{,}087.
  • Erro relativo final: \mathrm{ER}_{\text{final}}=\dfrac{0{,}087}{0{,}913}\approx0{,}09532\quad(\text{aprox. }9{,}53\%).
  • Explicação didática e intuitiva do porquê do erro ser grande:
    • Na segunda suboperação \;0{,}913-21\; o resultado exato é -20{,}087. Ao truncar para 3 dígitos, perdeu-se 0{,}087 (ficou -20{,}0). Esse erro de 0{,}087 é pequeno relativamente ao próprio número -20{,}087 (erros relativos daquela etapa eram cerca de 0{,}433\%), mas é comparativamente grande em relação ao resultado final exato 0{,}913.
    • Quando depois somamos 21 com o valor truncado -20{,}0, o pequeno pedaço perdido ( 0{,}087) não reaparece: a soma dá 1{,}0 em vez de 0{,}913. Ou seja, uma pequena perda numa etapa intermediária transformou-se numa diferença grande em relação ao resultado final — fenômeno conhecido como perda de significância ou “catastrophic cancellation”.
    • Regra prática: subtrair números de magnitudes muito diferentes ou somar/subtrair de forma que um pequeno resultado venha de diferença entre dois números grandes é perigoso em aritmética finita; baixos dígitos significativos são facilmente perdidos pelo truncamento/rounding.

Passo 8

Sugestão rápida para evitar (quando possível) esse tipo de erro em cálculos manuais ou em algoritmos numéricos.
  • Reordenar operações quando permitido: somar primeiro os termos pequenos entre si e depois combinar com os grandes pode reduzir perda de dígitos. Por exemplo, se fizermos primeiro 21+0{,}913=21{,}913 (truncando para 3 dígitos dá 21{,}9) e só depois subtrair 21, obtemos 21{,}9-21=0{,}9 (erro final 0{,}013 em relação a 0{,}913), que é muito melhor do que 0{,}087. (Isto ilustra por que a ordem das operações importa em ponto flutuante.)

Resposta

Valor aproximado final: 1{,}0
Valor exato: 0{,}913
Erro absoluto final: 0{,}087
Erro relativo final: \approx0{,}09532
Erro absoluto e relativo da primeira suboperação 164-143: \mathrm{EA}_1=0,\\ \mathrm{ER}_1=0
Erro absoluto e relativo da segunda suboperação 0{,}913-21: \mathrm{EA}_2=0{,}087,\\ \mathrm{ER}_2\approx0{,}00433

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