Deseja-se calcular:
no sistema
, usando arredondamento em todas as operações. Assim, efetue a soma:
a) da direita para a esquerda,
b) da esquerda para a direita.
Os valores obtidos em a) e b) são iguais?
a) da direita para a esquerda,
b) da esquerda para a direita.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
no sistema de ponto flutuante
, usando arredondamento em todas as operações. São duas somas a fazer:
a) somar da direita para a esquerda (primeiro , depois
, …, por fim
);
b) somar da esquerda para a direita (primeiro , depois
, …, por fim
).
Finalmente comparar os valores obtidos em (a) e (b) e responder se são iguais.
a) somar da direita para a esquerda (primeiro
b) somar da esquerda para a direita (primeiro
Finalmente comparar os valores obtidos em (a) e (b) e responder se são iguais.
Informações dadas que usaremos:
- o sistema é
: base e precisão de dígitos significativos (os outros parâmetros de expoente não interferem aqui porque os números envolvidos estão bem dentro do intervalo representável); - arredondamento será aplicado em todas as operações (divisões para obter cada termo e cada soma parcial serão arredondadas ao resultado da operação com 3 dígitos significativos).
Passo 2
Vou explicar como vamos arredondar e representar números: com
dígitos significativos significa que, após qualquer operação, o resultado deve ser arredondado de modo que apenas os três primeiros dígitos significativos (os três primeiros algarismos não-nulos a partir do primeiro algarismo diferente de zero) permaneçam. Adotarei a regra de arredondamento “arredondar para o mais próximo; em caso de empate (dígito seguinte igual a 5 seguido só de zeros) arredondo para cima” (ou seja, round-half-up). Exemplos rápidos:
-
com 3 dígitos significativos vira (o quarto dígito é 2? aqui é 5 com mais dígitos, provoca arredondamento para cima); -
com 3 dígitos significativos vira (o quarto dígito é 5, aplicando round-half-up aumenta o terceiro dígito).
Todas as divisões
serão arredondadas a 3 dígitos significativos já no momento da computação do termo; cada soma parcial será também arredondada a 3 dígitos significativos logo após a adição.
Passo 3
Calcular os termos
arredondados a 3 dígitos significativos (mostrando o valor exato aproximado e o valor arredondado):
Cada valor à direita é o termo efetivamente usado nas somas, já com arredondamento a 3 dígitos significativos.]
Passo 4
Agora faço (a): soma da direita para a esquerda. Começo com
e vou somando até
, arredondando a cada adição.
Termos (arredondados) para referência rápida:
Somas parciais (cada soma é arredondada a 3 dígitos significativos imediatamente):
-
.\newline -
arred. a 3 dígitos: (já tem 3 dígitos significativos).\newline -
arred. a 3 dígitos: .\newline -
arred. a 3 dígitos: (o quarto dígito é 8, então o terceiro aumenta).\newline -
arred. a 3 dígitos: .\newline -
arred. a 3 dígitos: .\newline -
arred. a 3 dígitos: .\newline -
arred. a 3 dígitos: .\newline -
arred. a 3 dígitos: (representado com 3 dígitos significativos: ).\newline -
arred. a 3 dígitos: .
Portanto o resultado final da soma da direita para a esquerda é
.
Passo 5
Agora faço (b): soma da esquerda para a direita. Começo com
e vou até
, arredondando a cada adição.
Reuso os termos arredondados listados antes. Somas parciais:
-
.\newline -
arred.: .\newline -
arred. a 3 dígitos: (o quarto dígito é 2, não altera).\newline -
arred. a 3 dígitos: (o quarto dígito é 5; aplicando round-half-up aumenta o terceiro dígito).\newline -
arred.: .\newline -
arred. a 3 dígitos: (o quarto dígito é 5, arredonda).\newline -
arred. a 3 dígitos: .\newline -
arred. a 3 dígitos: .\newline -
arred. a 3 dígitos: .\newline -
arred. a 3 dígitos: .
Portanto o resultado final da soma da esquerda para a direita também é
.
Passo 6
Comparação e comentário pedagógico: ambos os procedimentos, com arredondamento a cada operação em
e usando round-half-up, deram o mesmo resultado final
. Nem sempre isso acontece em aritmética de ponto flutuante — a ordem de soma pode alterar resultados quando há perda de precisão (por exemplo, somando muitos termos muito pequenos a um muito grande pode fazer os pequenos “sumirem” por arredondamento). No nosso caso, devido aos valores e à precisão escolhida, as perdas se compensaram e os dois caminhos produziram
.
Resposta
(a)
(b)
Sim — os valores obtidos em (a) e (b) são iguais: .
(b)
Sim — os valores obtidos em (a) e (b) são iguais: