Deseja-se calcular:
S=\sum_{k=1}^{10} \frac{2}{k^{2}}
no sistema F(10,3,5,4), usando arredondamento em todas as operações. Assim, efetue a soma:
a) da direita para a esquerda,
b) da esquerda para a direita.
Os valores obtidos em a) e b) são iguais?

Passo 1

O enunciado pede para calcular
S=\sum_{k=1}^{10}\frac{2}{k^{2}}
no sistema de ponto flutuante F(10,3,5,4), usando arredondamento em todas as operações. São duas somas a fazer:
a) somar da direita para a esquerda (primeiro k=10, depois k=9, …, por fim k=1);
b) somar da esquerda para a direita (primeiro k=1, depois k=2, …, por fim k=10).
Finalmente comparar os valores obtidos em (a) e (b) e responder se são iguais.
Informações dadas que usaremos:
  • o sistema é F(10,3,5,4): base 10 e precisão de t=3 dígitos significativos (os outros parâmetros de expoente não interferem aqui porque os números envolvidos estão bem dentro do intervalo representável);
  • arredondamento será aplicado em todas as operações (divisões para obter cada termo e cada soma parcial serão arredondadas ao resultado da operação com 3 dígitos significativos).

Passo 2

Vou explicar como vamos arredondar e representar números: com t=3 dígitos significativos significa que, após qualquer operação, o resultado deve ser arredondado de modo que apenas os três primeiros dígitos significativos (os três primeiros algarismos não-nulos a partir do primeiro algarismo diferente de zero) permaneçam. Adotarei a regra de arredondamento “arredondar para o mais próximo; em caso de empate (dígito seguinte igual a 5 seguido só de zeros) arredondo para cima” (ou seja, round-half-up). Exemplos rápidos:
  • 0,03125 com 3 dígitos significativos vira 0,0313 (o quarto dígito é 2? aqui é 5 com mais dígitos, provoca arredondamento para cima);
  • 2,845 com 3 dígitos significativos vira 2,85 (o quarto dígito é 5, aplicando round-half-up aumenta o terceiro dígito).
Todas as divisões 2/k^{2} serão arredondadas a 3 dígitos significativos já no momento da computação do termo; cada soma parcial será também arredondada a 3 dígitos significativos logo após a adição.

Passo 3

Calcular os termos \dfrac{2}{k^{2}} arredondados a 3 dígitos significativos (mostrando o valor exato aproximado e o valor arredondado):
\begin{aligned} &\frac{2}{1^{2}}=2 \quad\Rightarrow\quad \text{arred. }= \(2,00\)\\[4pt] &\frac{2}{2^{2}}=\frac{2}{4}=0,5 \quad\Rightarrow\quad \text{arred. }= \(0,500\)\\[4pt] &\frac{2}{3^{2}}=\frac{2}{9}\approx0,222222\ldots \quad\Rightarrow\quad \text{arred. }= \(0,222\)\\[4pt] &\frac{2}{4^{2}}=\frac{2}{16}=0,125 \quad\Rightarrow\quad \text{arred. }= \(0,125\)\\[4pt] &\frac{2}{5^{2}}=\frac{2}{25}=0,08 \quad\Rightarrow\quad \text{arred. }= \(0,080\)\\[4pt] &\frac{2}{6^{2}}=\frac{2}{36}\approx0,055555\ldots \quad\Rightarrow\quad \text{arred. }= \(0,0556\)\\[4pt] &\frac{2}{7^{2}}=\frac{2}{49}\approx0,0408163\ldots \quad\Rightarrow\quad \text{arred. }= \(0,0408\)\\[4pt] &\frac{2}{8^{2}}=\frac{2}{64}=0,03125 \quad\Rightarrow\quad \text{arred. }= \(0,0313\)\\[4pt] &\frac{2}{9^{2}}=\frac{2}{81}\approx0,0246913\ldots \quad\Rightarrow\quad \text{arred. }= \(0,0247\)\\[4pt] &\frac{2}{10^{2}}=\frac{2}{100}=0,02 \quad\Rightarrow\quad \text{arred. }= \(0,020\) \end{aligned}
Cada valor à direita é o termo efetivamente usado nas somas, já com arredondamento a 3 dígitos significativos.]

Passo 4

Agora faço (a): soma da direita para a esquerda. Começo com k=10 e vou somando até k=1, arredondando a cada adição.
Termos (arredondados) para referência rápida:
\(0,020\),\; \(0,0247\),\; \(0,0313\),\; \(0,0408\),\; \(0,0556\),\; \(0,080\),\; \(0,125\),\; \(0,222\),\; \(0,500\),\; \(2,00\).
Somas parciais (cada soma é arredondada a 3 dígitos significativos imediatamente):
  1. s_{10} = 0,020.\newline
  2. s_{10}+0,0247 = 0,020 + 0,0247 = 0,0447 \Rightarrow arred. a 3 dígitos: 0,0447 (já tem 3 dígitos significativos).\newline
  3. 0,0447+0,0313 = 0,0760 \Rightarrow arred. a 3 dígitos: 0,0760.\newline
  4. 0,0760+0,0408 = 0,1168 \Rightarrow arred. a 3 dígitos: 0,117 (o quarto dígito é 8, então o terceiro aumenta).\newline
  5. 0,117+0,0556 = 0,1726 \Rightarrow arred. a 3 dígitos: 0,173.\newline
  6. 0,173+0,080 = 0,253 \Rightarrow arred. a 3 dígitos: 0,253.\newline
  7. 0,253+0,125 = 0,378 \Rightarrow arred. a 3 dígitos: 0,378.\newline
  8. 0,378+0,222 = 0,600 \Rightarrow arred. a 3 dígitos: 0,600.\newline
  9. 0,600+0,500 = 1,100 \Rightarrow arred. a 3 dígitos: 1,10 (representado com 3 dígitos significativos: 1,10).\newline
  10. 1,10+2,00 = 3,10 \Rightarrow arred. a 3 dígitos: 3,10.
Portanto o resultado final da soma da direita para a esquerda é 3,10.

Passo 5

Agora faço (b): soma da esquerda para a direita. Começo com k=1 e vou até k=10, arredondando a cada adição.
Reuso os termos arredondados listados antes. Somas parciais:
  1. s_{1}=2,00.\newline
  2. 2,00+0,500 = 2,50 \Rightarrow arred.: 2,50.\newline
  3. 2,50+0,222 = 2,722 \Rightarrow arred. a 3 dígitos: 2,72 (o quarto dígito é 2, não altera).\newline
  4. 2,72+0,125 = 2,845 \Rightarrow arred. a 3 dígitos: 2,85 (o quarto dígito é 5; aplicando round-half-up aumenta o terceiro dígito).\newline
  5. 2,85+0,080 = 2,93 \Rightarrow arred.: 2,93.\newline
  6. 2,93+0,0556 = 2,9856 \Rightarrow arred. a 3 dígitos: 2,99 (o quarto dígito é 5, arredonda).\newline
  7. 2,99+0,0408 = 3,0308 \Rightarrow arred. a 3 dígitos: 3,03.\newline
  8. 3,03+0,0313 = 3,0613 \Rightarrow arred. a 3 dígitos: 3,06.\newline
  9. 3,06+0,0247 = 3,0847 \Rightarrow arred. a 3 dígitos: 3,08.\newline
  10. 3,08+0,020 = 3,100 \Rightarrow arred. a 3 dígitos: 3,10.
Portanto o resultado final da soma da esquerda para a direita também é 3,10.

Passo 6

Comparação e comentário pedagógico: ambos os procedimentos, com arredondamento a cada operação em F(10,3,\ldots) e usando round-half-up, deram o mesmo resultado final 3,10. Nem sempre isso acontece em aritmética de ponto flutuante — a ordem de soma pode alterar resultados quando há perda de precisão (por exemplo, somando muitos termos muito pequenos a um muito grande pode fazer os pequenos “sumirem” por arredondamento). No nosso caso, devido aos valores e à precisão escolhida, as perdas se compensaram e os dois caminhos produziram 3,10.

Resposta

(a) 3,10
(b) 3,10
Sim — os valores obtidos em (a) e (b) são iguais: 3,10.

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