Seja um sistema computacional que opera na base 10 com uma mantissa de t=4 dígitos. Deseja-se representar nesta máquina o número real x=1428.756. Represente esse número na máquina e calcule o Erro Absoluto cometido ao se utilizar as políticas de (a) Truncamento e (b) Arredondamento.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está listado:
  • Número a representar: x=1428,756.
  • Base da máquina: 10.
  • Mantissa com t=4 dígitos significativos.
    O que se pede:
    (a) representar x na máquina usando a política de truncamento e calcular o erro absoluto;
    (b) representar x na máquina usando a política de arredondamento e calcular o erro absoluto.

Passo 2

Entendendo o formato normalizado que vamos usar (explicação didática):
  • Uma representação normalizada em base 10 com t dígitos tem a forma
\pm d_{1}.d_{2}d_{3}\dots d_{t}\times 10^{e},
onde d_{1}\in\{1,2,\dots,9\} (ou seja, o primeiro dígito não é zero) e os d_{i} são os dígitos significativos.
  • O parâmetro t é o número total de dígitos significativos que a máquina armazena (aqui t=4).
  • Truncamento: manter os primeiros t dígitos e descartar (sem alteração) os restantes.
  • Arredondamento para o mais próximo: olhar o primeiro dígito descartado; se for \ge 5 incrementa-se o último dígito guardado (tratando carry se necessário), caso contrário deixa-se como está.

Passo 3

Colocar x em notação normalizada para extrair os dígitos significativos:
x = 1428,756 = 1,428756\times 10^{3}.
Aqui os dígitos significativos (em ordem) são 1,4,2,8,7,5,6,\dots. Os primeiros t=4 dígitos são 1,4,2,8 e o quinto dígito (que decide o arredondamento) é 7.

Passo 4

Representação por truncamento (passo a passo):
  • Mantissa guardada (primeiros 4 dígitos): 1,428.
  • Portanto a máquina armazena
\widetilde{x}_{\text{trunc}} = 1,428\times 10^{3}.
  • Avaliando em valor decimal: 1,428\times 10^{3} = 1428.

Passo 5

Cálculo do erro absoluto no truncamento (explicado):
  • Definição: o erro absoluto é |x-\widetilde{x}|.
  • Aplicando:
E_{\text{abs,trunc}} = \bigl|1428,756 - 1428\bigr| = 0,756.
(Operação: 1428,756-1428,000=0,756.)

Passo 6

Representação por arredondamento (passo a passo):
  • Olhamos o quinto dígito depois do primeiro: é 7, que é \ge 5. Então incrementamos o quarto dígito guardado (que era 8) em uma unidade: 8\to 9.
  • Mantissa arredondada: 1,429.
  • Portanto a máquina armazena
\widetilde{x}_{\text{round}} = 1,429\times 10^{3}.
  • Avaliando em valor decimal: 1,429\times 10^{3} = 1429.

Passo 7

Cálculo do erro absoluto no arredondamento:
  • Definição: |x-\widetilde{x}|.
  • Aplicando:
E_{\text{abs,round}} = \bigl|1428,756 - 1429\bigr| = 0,244.
(Operação: 1429,000-1428,756=0,244.)

Passo 8

Resumo e comentário final (rápido e motivador):
  • Pelo cálculo vimos que o arredondamento produz menor erro absoluto ( 0,244) que o truncamento ( 0,756). Boa! Isso mostra por que, na prática, arredondar costuma ser preferível quando se quer minimizar erro absoluto.

Resposta

(a) Truncamento: \widetilde{x}=1,428\times 10^{3}=1428; Erro absoluto =0,756
(b) Arredondamento: \widetilde{x}=1,429\times 10^{3}=1429; Erro absoluto =0,244

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