Chama-se de Erro Absoluto a diferença entre o valor exato de um número x e o seu valor aproximado \tilde{x}. Considere os seguintes valores observados em uma simulação: o valor exato x=1000.5 e o seu valor aproximado pela máquina \tilde{x}=1000.6. Com base nestes dados, calcule o Erro Absoluto (E A) e o Erro Relativo (E R) da aproximação.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes valores observados:
  • Valor exato: x = 1000,5.
  • Valor aproximado pela máquina: \tilde{x} = 1000,6.
O que o problema pede:
  • Calcular o Erro Absoluto ( E_A) da aproximação.
  • Calcular o Erro Relativo ( E_R) da aproximação.

Passo 2

Definição e fórmula do Erro Absoluto.
O Erro Absoluto mede a diferença em valor absoluto entre o valor exato e a aproximação. A fórmula é:
E_A = \left|x - \tilde{x}\right|
onde:
  • x é o valor exato,
  • \tilde{x} é o valor aproximado,
  • |\cdot| indica valor absoluto (ou seja, sempre positivo).
Dica rápida: usa-se valor absoluto porque o erro pode ser positivo ou negativo dependendo de qual é maior; interessa só a magnitude do desvio.

Passo 3

Cálculo do Erro Absoluto usando os números fornecidos. Substituindo na fórmula:
E_A = \left|1000,5 - 1000,6\right|
Calcule a diferença:
1000,5 - 1000,6 = -0,1
Aplicando valor absoluto:
E_A = \left|-0,1\right| = 0,1

Passo 4

Definição e fórmula do Erro Relativo.
O Erro Relativo é o Erro Absoluto dividido pelo módulo do valor exato, e dá uma medida do erro em relação à escala do número. A fórmula é:
E_R = \frac{E_A}{\left|x\right|}
onde:
  • E_A é o Erro Absoluto já calculado,
  • \left|x\right| é o valor absoluto do valor exato (aqui x é positivo, então \left|x\right|=x).
Observação: o Erro Relativo é adimensional; para expressá-lo em porcentagem multiplica-se por 100.

Passo 5

Cálculo do Erro Relativo com os valores já conhecidos. Primeiro escrevendo a divisão:
E_R = \frac{0,1}{1000,5}
Para simplificar a conta, observe que 0,1=\dfrac{1}{10} e 1000,5=\dfrac{10005}{10}. Fazendo a divisão:
E_R = \frac{\tfrac{1}{10}}{\tfrac{10005}{10}} = \frac{1}{10005}
Agora a forma decimal aproximada:
E_R \approx 0,00009995
Se quisermos em porcentagem:
E_R \times 100\% \approx 0,009995\%\approx 0,01\%

Passo 6

Interpretação curta e dica para prova.
  • O Erro Absoluto E_A=0,1 indica que a aproximação difere do valor exato por uma décima.
  • O Erro Relativo E_R\approx0,00009995 (ou cerca de 0,01\%) mostra que esse desvio é muito pequeno quando comparado com o tamanho do número 1000,5.
    Dica prática: em provas, calcule primeiro E_A por subtração e depois divida por |x| para obter E_R; se precisar de porcentagem multiplique por 100.

Resposta

E_A = 0,1
E_R \approx 9,995\times10^{-5} (ou aproximadamente 0,009995\%)

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