Deseja-se comprimir 7,56 \cdot 10^{-3} \mathrm{kgmol} / \mathrm{s} de metano a 26,7^{\circ} C e 137,9 \mathrm{kPa} (abs) até 551,6 kPa (abs). Dados: \gamma=1,31
Repetir o cálculo para processo isotérmico

Passo 1

O enunciado pede que se comprima \dot{n}=7{,}56\cdot10^{-3}\\ \mathrm{kgmol/s} de metano que está nas condições iniciais T_1=26{,}7^\circ\mathrm{C} e P_1=137{,}9\\ \mathrm{kPa} (absolutos) até P_2=551{,}6\\ \mathrm{kPa} (absolutos). Os dados fornecidos incluem \gamma=1{,}31.
As perguntas são:
  • Calcular a potência requerida para a compressão supondo o processo adiabático reversível (usar \gamma implica que esse é o caso a considerar).
  • Repetir o cálculo supondo o processo isotérmico.
Dados extraídos do enunciado:
  • \dot{n}=7{,}56\cdot10^{-3}\\ \mathrm{kgmol/s}
  • T_1=26{,}7^\circ\mathrm{C}
  • P_1=137{,}9\\ \mathrm{kPa}
  • P_2=551{,}6\\ \mathrm{kPa}
  • \gamma=1{,}31

Passo 2

Conversão de temperaturas e constantes, e relações termodinâmicas básicas que serão usadas. Estas coisas são obrigatórias para montar as fórmulas corretamente.
  • Converter T_1 para kelvin:
T_1 = 26{,}7 + 273{,}15 = 299{,}85\\ \mathrm{K}.
  • Relações entre capacidades e a constante dos gases (para gás ideal, por unidade de quantidade de substância em \mathrm{kgmol}):
C_p - C_v = R,\qquad \gamma=\frac{C_p}{C_v}.
Dessas duas equações obtém-se
C_v=\frac{R}{\gamma-1},\qquad C_p=\frac{\gamma R}{\gamma-1}.
  • Valor da constante universal dos gases na unidade usada ( \mathrm{J\,kgmol^{-1}K^{-1}}):
R = 8314\\ \mathrm{J\,kgmol^{-1}K^{-1}}.
  • Calcular C_p numérico:
C_p = \frac{\gamma R}{\gamma-1} = \frac{1{,}31\cdot 8314}{1{,}31-1} = \frac{1{,}31\cdot 8314}{0{,}31}.
Fazendo as contas:
\frac{1{,}31}{0{,}31}=4{,}225806\dots
C_p \approx 4{,}225806\cdot 8314 \approx 35134\\ \mathrm{J\,kgmol^{-1}K^{-1}}.

Passo 3

Escolha do método para a primeira parte e fórmulas principais.
  • Como o enunciado forneceu \gamma e não pediu explicitamente outra coisa, o procedimento natural é calcular a compressão adiabática reversível (isentrópica) para gás ideal. Para compressão isentrópica entre dois estados:
\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
  • Para potência (taxa de trabalho) em escoamento estacionário, desprezando energia cinética e potencial, o trabalho ideal requerido por unidade de quantidade de substância é dado por variação de entalpia do gás ideal:
w = C_p\,(T_2-T_1),
e a potência é
\dot{W}=\dot{n}\,w=\dot{n}\,C_p\,(T_2-T_1).

Passo 4

Cálculo numérico do caso adiabático (isentrópico).
  • Primeiro a razão de pressão:
\frac{P_2}{P_1}=\frac{551{,}6}{137{,}9}=4{,}0.
  • Exponente:
\frac{\gamma-1}{\gamma}=\frac{1{,}31-1}{1{,}31}=\frac{0{,}31}{1{,}31}\approx0{,}23664.
  • Temperatura final T_2:
T_2=T_1\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} =299{,}85\cdot 4{,}0^{\,0{,}23664}.
Calcular 4^{0{,}23664}: usando \ln 4\approx1{,}386294,
4^{0{,}23664}=e^{0{,}23664\cdot 1{,}386294}\approx e^{0{,}3279}\approx1{,}3886.
Logo
T_2\approx 299{,}85\cdot 1{,}3886\approx 416{,}23\\ \mathrm{K}.
  • Diferença de temperatura:
T_2-T_1 \approx 416{,}23-299{,}85=116{,}38\\ \mathrm{K}.
  • Trabalho por \mathrm{kgmol}:
w = C_p\,(T_2-T_1)\approx 35134\cdot 116{,}38\\ \mathrm{J/kgmol}\approx 4{,}0887\cdot10^{6}\\ \mathrm{J/kgmol}.
  • Potência requerida (multiplicando pela vazão molar):
\dot{W}=\dot{n}\,w = 7{,}56\cdot10^{-3}\cdot 4{,}0887\cdot10^{6}\\ \mathrm{J/s}.
\dot{W}\approx 30{,}95\cdot10^{3}\\ \mathrm{W}=30{,}95\\ \mathrm{kW}.
Observação física: esse valor é a potência mínima ideal para compressão isentrópica (sem perdas mecânicas nem irreversibilidades).

Passo 5

Derivação e cálculo para o processo isotérmico.
  • Para compressão isotérmica reversível de um gás ideal, o trabalho por unidade de quantidade de substância é dado por
w_{\mathrm{iso}} = R\,T_1\,\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).
Isto vem da integral \int v\,dP usando v=RT/P (Lei dos gases ideais).
  • Calcular w_{\mathrm{iso}}:
\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)=\ln 4 \approx 1{,}386294.
w_{\mathrm{iso}} = 8314\cdot 299{,}85\cdot 1{,}386294 \\ \mathrm{J/kgmol}.
Fazendo as contas:
w_{\mathrm{iso}}\approx 3{,}4539\cdot10^{6}\\ \mathrm{J/kgmol}.
  • Potência requerida no processo isotérmico:
\dot{W}_{\mathrm{iso}}=\dot{n}\,w_{\mathrm{iso}}=7{,}56\cdot10^{-3}\cdot 3{,}4539\cdot10^{6}\\ \mathrm{J/s}.
\dot{W}_{\mathrm{iso}}\approx 26{,}13\cdot10^{3}\\ \mathrm{W}=26{,}13\\ \mathrm{kW}.
Interpretação rápida: a compressão isotérmica ideal requer menos potência que a compressão isentrópica ideal, porque na isotérmica o calor é extraído continuamente, reduzindo o trabalho necessário.

Passo 6

Resumo numérico e verificação de ordens de grandeza (checagem mental simples).
  • Razão de pressão P_2/P_1=4 é moderada; aumento de temperatura na compressão isentrópica para \sim416\\ \mathrm{K} faz sentido (aumenta significativamente), levando a trabalho maior que no caso isotérmico.
  • Valores finais arredondados com três algarismos significativos são consistentes com as contas acima.

Resposta

Potência requerida (compressão adiabática reversível/isentrópica): 30{,}95\\ \mathrm{kW}
Potência requerida (compressão isotérmica reversível): 26{,}13\\ \mathrm{kW}

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