Seja X \sim N\left(\frac{5}{4}, \frac{1}{9}\right). Determine:
P\left(|X-1|>\frac{1}{4}\right)

Passo 1

O enunciado dá a variável aleatória X com distribuição normal
X \sim N\!\left(\frac{5}{4},\;\frac{1}{9}\right),
ou seja a média (esperança) é \mu=\dfrac{5}{4} e a variância é \sigma^{2}=\dfrac{1}{9}. Portanto o desvio-padrão é \sigma=\dfrac{1}{3}.
A pergunta é calcular a probabilidade
P\!\left(|X-1|>\frac{1}{4}\right).

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a desigualdade com valor absoluto como união de dois eventos (isso é um truque padrão):
|X-1|>\frac{1}{4}\quad\Longleftrightarrow\quad X<1-\frac{1}{4}\\ \\ \text{ou}\\ \\ X>1+\frac{1}{4}.
Portanto
P\!\left(|X-1|>\frac{1}{4}\right)=P\!\left(X<\frac{3}{4}\right)+P\!\left(X>\frac{5}{4}\right).

Passo 3

Vamos avaliar numericamente os pontos \dfrac{3}{4} e \dfrac{5}{4} em relação à média \mu=\dfrac{5}{4}:
  • Note que \dfrac{5}{4}=\mu. Logo a segunda probabilidade é a probabilidade da cauda direita a partir da média:
P\!\left(X>\frac{5}{4}\right)=P\!\left(X>\mu\right)=\frac{1}{2},
porque a normal é simétrica em torno da média.
  • A primeira probabilidade é P\!\left(X<\dfrac{3}{4}\right). Vamos padronizar para a normal padrão para calcular isso.

Passo 4

Padronização: se X\sim N(\mu,\sigma^{2}) então
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1).
Aplicando com \mu=\dfrac{5}{4} e \sigma=\dfrac{1}{3}:
P\!\left(X<\frac{3}{4}\right)=P\!\left(\frac{X-\mu}{\sigma}<\frac{\tfrac{3}{4}-\tfrac{5}{4}}{\tfrac{1}{3}}\right)=P\!\left(Z<\frac{-\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{3}}\right)=P\!\left(Z<-\tfrac{3}{2}\right).

Passo 5

Usamos a propriedade de simetria da normal padrão: para a>0,
P(Z<-a)=1-P(Z\le a)=1-\Phi(a),
onde \Phi é a função distribuição acumulada da normal padrão. Com a=\tfrac{3}{2}=1{,}5 temos
P\!\left(Z<-\tfrac{3}{2}\right)=1-\Phi\!\left(1{,}5\right).
Usando o valor tabelado (ou tabela/atributo padrão) \Phi\!\left(1{,}5\right)\approx 0{,}93319, obtemos
P\!\left(Z<-\tfrac{3}{2}\right)\approx 1-0{,}93319=0{,}06681.

Passo 6

Agora somamos as duas probabilidades que tínhamos:
P\!\left(|X-1|>\frac{1}{4}\right)=P\!\left(X<\tfrac{3}{4}\right)+P\!\left(X>\tfrac{5}{4}\right)\approx 0{,}06681+0{,}5=0{,}56681.
Arredondando razoavelmente, \approx 0{,}5668. Bom trabalho — note que aqui uma das bordas coincide com a média, o que simplificou bastante o cálculo.

Resposta

0,56681 (aproximadamente 0,5668)

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