Deseja-se construir uma caixa com base quadrada e sem tampa, com volume 32 cm^3. Se be h são, respectivamente, as medidas do lado da base e da altura da caixa que minimizam a quantidade de material usado, então b+2 h é igual a
(A) 8 cm .
(B) 10 cm .
© 7 cm .
(D) 9 cm .
(E) outro valor.

Passo 1

Vamos resolver um problema de otimização onde queremos construir uma caixa sem tampa com base quadrada. O volume da caixa é de 32, cm^3. Precisamos encontrar as medidas do lado da base ( b) e da altura ( h) que minimizam a quantidade de material usado. Para isso, utilizaremos conceitos de cálculo de funções e otimização.

Passo 2

Primeiro, entendemos que o volume ( V) da caixa é dado por:
V = b^2 times h
Sabemos que V = 32, cm^3, então:
b^2 times h = 32
Queremos expressar h em função de b:
h = 32b^2

Passo 3

A quantidade de material usado corresponde à área total da caixa sem a tampa. A área total ( A) é composta pela área da base e das quatro laterais:
A = b^2 + 4 times (b times h)
Substituindo h pela expressão encontrada:
A = b^2 + 4b times (32b^2) = b^2 + 128b

Passo 4

Para minimizar a área total, derivamos A em relação a b e igualamos a zero:
dAdb = 2b - 128b^2 = 0
Resolvendo para b:
2b = 128b^2 implies 2b^3 = 128 implies b^3 = 64 implies b = 4, cm

Passo 5

Agora, encontramos h usando b = 4, cm:
h = 32b^2 = 3216 = 2, cm

Passo 6

Finalmente, calculamos b + 2h:
b + 2h = 4 + 2 times 2 = 4 + 4 = 8, cm

Resposta

(A) 8 cm.

Exercícios relacionados