Deseja-se construir uma caixa com base quadrada e sem tampa, com volume
. Se be
são, respectivamente, as medidas do lado da base e da altura da caixa que minimizam a quantidade de material usado, então
é igual a
(A) 8 cm .
(B) 10 cm .
© 7 cm .
(D) 9 cm .
(E) outro valor.
(A) 8 cm .
(B) 10 cm .
© 7 cm .
(D) 9 cm .
(E) outro valor.
Passo 1
Vamos resolver um problema de otimização onde queremos construir uma caixa sem tampa com base quadrada. O volume da caixa é de
. Precisamos encontrar as medidas do lado da base (
) e da altura (
) que minimizam a quantidade de material usado. Para isso, utilizaremos conceitos de cálculo de funções e otimização.
Passo 2
Primeiro, entendemos que o volume (
) da caixa é dado por:
Sabemos que
, então:
Queremos expressar
em função de
:
Passo 3
A quantidade de material usado corresponde à área total da caixa sem a tampa. A área total (
) é composta pela área da base e das quatro laterais:
Substituindo
pela expressão encontrada:
Passo 4
Para minimizar a área total, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora, encontramos
usando
:
Passo 6
Finalmente, calculamos
:
Resposta
(A) 8 cm.