Exercício 13.4. Resolva usando coeficientes a determinar:
y^(4)-2 y^prime prime prime+y^prime prime=x^3

Passo 1

Enunciado: a gente tem a EDO linear de quarta ordem com coeficientes constantes
y''''-2y'''+y''=x^3,
o conteúdo é solução geral de EDO linear com método dos coeficientes a determinar, precisando achar a parte homogênea e uma particular.

Passo 2

Para a parte homogênea, montamos a equação característica:
r^4-2r^3+r^2 = r^2(r-1)^2 = 0
As raízes são r=0 (multiplicidade 2) e r=1 (multiplicidade 2). Logo
yh = C1 + C2 x + C3 e^x + C4 x e^x

Passo 3

Para a parte particular, como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 3 em x e a raiz zero tem multiplicidade 2, multiplicamos por x^2. Então propomos
yp = x^2(Ax^3 + Bx^2 + Cx + D) = A x^5 + B x^4 + C x^3 + D x^2

Passo 4

Agora calculamos as derivadas e substituímos em y''''-2y'''+y'':
yp' = 5A x^4 + 4B x^3 + 3C x^2 + 2D x, yp'' = 20A x^3 + 12B x^2 + 6C x + 2D, yp''' = 60A x^2 + 24B x + 6C, yp'''' = 120A x + 24B
Substituindo,
20A x^3 +(-120A+12B)x^2+(120A-48B+6C)x+(24B-12C+2D)=x^3
Igualando coeficientes obtemos o sistema
20A=1,-120A+12B=0,120A-48B+6C=0,24B-12C+2D=0

Passo 5

Resolvendo o sistema dá
A=tfrac120,;B=tfrac12,;C=3,;D=12.
Logo a parte particular é
yp=tfrac120x^5+tfrac12x^4+3x^3+12x^2
Combinando, a solução geral é y=yh+yp.

Resposta

y(x)=C1+C2x+C3e^x+C4x e^x+tfrac120x^5+tfrac12x^4+3x^3+12x^2.

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