Exercício 13.3. Encontre a solução geral das equações:
y^(4)+a^2 y^prime prime=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de quarta ordem com coeficientes constantes y^(4) + a^2 y'' = 0. O conteúdo aqui é resolução de EDOs lineares de ordem elevada por equação característica.

Passo 2

Para resolver, assumimos uma solução do tipo y = e^r x. Substituindo na EDO, cada derivada gera potências de r e chegamos à equação característica
r^4 + a^2 r^2 = 0

Passo 3

Fatorando a característica temos
r^2,l(r^2 + a^2r) = 0

Passo 4

As raízes são r=0 (com multiplicidade 2) e r=pm i a. Pela teoria, cada raiz real de multiplicidade 2 gera termos C1 e^0x e C2 x e^0x, ou seja, constantes e termos lineares em x.
As raízes complexas conjugadas pm i a geram combinações reais em cosseno e seno, ou seja, C3cos(ax) e C4sin(ax).

Passo 5

Juntando tudo, a solução geral é uma combinação linear desses quatro termos independentes.

Resposta

y(x)=C1+C2,x+C3cos(a x)+C4sin(a x)

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