Deseja-se construir uma caixa, de forma cilíndrica, de
de volume. Nas laterais e no fundo será utilizado um material que custa R$500 o metro quadrado e na tampa um material que custa R$ 2000 o metro quadrado.
Determine as dimensões da caixa que minimizem o custo do material empregado.
Determine as dimensões da caixa que minimizem o custo do material empregado.
Passo 1
O problema pede para construir uma caixa cilíndrica de volume fixo de 1 m³, usando dois materiais com custos diferentes: R$ 500/m² para as laterais e o fundo, e R$ 2000/m² para a tampa. Vamos definir variáveis e usar cálculo para minimizar o custo total.
Passo 2
Definimos o raio da base como r e a altura como h. A condição de volume é dada por
Daí isolamos h em função de r: h =
.
Passo 3
Calculamos as áreas: lateral A_l = 2\pi r h, fundo A_f = \pi r^2 e tampa A_t = \pi r^2. O custo total é
Passo 4
Substituindo as áreas e h em C, obtemos
Como h = 1/(\pi r^2), fica
Passo 5
Para achar o mínimo, derivamos C® em relação a r e igualamos a zero:
Logo
Passo 6
Substituímos r em h = 1/(\pi r^2) para obter a altura:
Passo 7
Esse valor de r e h realmente minimiza o custo (verificando que C’'®>0).
Resposta
O raio que minimiza o custo é
metros e a altura é
metros.