Deseja-se construir uma caixa, de forma cilíndrica, de 1 m^3 de volume. Nas laterais e no fundo será utilizado um material que custa R$500 o metro quadrado e na tampa um material que custa R$ 2000 o metro quadrado.
Determine as dimensões da caixa que minimizem o custo do material empregado.

Passo 1

O problema pede para construir uma caixa cilíndrica de volume fixo de 1 m³, usando dois materiais com custos diferentes: R$ 500/m² para as laterais e o fundo, e R$ 2000/m² para a tampa. Vamos definir variáveis e usar cálculo para minimizar o custo total.

Passo 2

Definimos o raio da base como r e a altura como h. A condição de volume é dada por
pi r^2 h = 1
Daí isolamos h em função de r: h = 1/(pi r^2).

Passo 3

Calculamos as áreas: lateral A_l = 2\pi r h, fundo A_f = \pi r^2 e tampa A_t = \pi r^2. O custo total é
C = 500,Al + 500,Af + 2000,At

Passo 4

Substituindo as áreas e h em C, obtemos
C(r) = 500(2pi r h) + 500(pi r^2) + 2000(pi r^2) = 1000pi r h + 2500pi r^2
Como h = 1/(\pi r^2), fica
C(r) = 1000r + 2500pi r^2

Passo 5

Para achar o mínimo, derivamos C® em relação a r e igualamos a zero:
C'(r) = -1000r^2 + 5000pi r = 0
Logo
5000pi r = 1000r^2 implies r^3 = 15pi implies r = raiz[3]15pi

Passo 6

Substituímos r em h = 1/(\pi r^2) para obter a altura:
h = 1pi,l(raiz[3]tfrac15pir)^-2 = raiz[3]25pi

Passo 7

Esse valor de r e h realmente minimiza o custo (verificando que C’'®>0).

Resposta

O raio que minimiza o custo é r = raiz[3]tfrac15pi metros e a altura é h = raiz[3]tfrac25pi metros.

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