Para a função
dada abaixo, faça o que se pede:
Determine as assintotas verticais e horizontais (se existem).
Passo 1
O enunciado pede para a gente encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função
f(x)=\frac{x}{(-1+x)^{2/3}}. Esse é um problema de análise de limites e assíntotas em funções racionais com potências fracionárias. Vamos usar limites laterais para verticais e limites no infinito para horizontais.
f(x)=\frac{x}{(-1+x)^{2/3}}. Esse é um problema de análise de limites e assíntotas em funções racionais com potências fracionárias. Vamos usar limites laterais para verticais e limites no infinito para horizontais.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos o domínio: como há uma potência de expoente
em
, precisamos de
para não zerar o denominador. Portanto, pode haver assíntota vertical em
. Calculamos
o sinal de
é positivo tanto à esquerda quanto à direita de 1 (porque o quadrado anula o sinal antes da raiz cúbica), e o numerador tende a 1. Logo,
Como os dois limites laterais dão
, existe assíntota vertical em
.
Passo 3
Agora vemos assíntotas horizontais estudando limites quando
. Para
:
Quando
, temos
e
. Logo
Para
, de forma análoga,
e o fator
, dando
Em ambos os casos não surge constante finita, portanto não há assíntota horizontal.
Passo 4
Concluímos que a função tem apenas uma assíntota vertical e nenhuma assíntota horizontal.
Resposta
Assíntota vertical: x=1; Assíntotas horizontais: nenhuma.