Para a função f dada abaixo, faça o que se pede:
f(x)=x(-1+x)^2 / 3
Determine as assintotas verticais e horizontais (se existem).

Passo 1

O enunciado pede para a gente encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função
f(x)=\frac{x}{(-1+x)^{2/3}}. Esse é um problema de análise de limites e assíntotas em funções racionais com potências fracionárias. Vamos usar limites laterais para verticais e limites no infinito para horizontais.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos o domínio: como há uma potência de expoente 2/3 em x-1, precisamos de xneq1 para não zerar o denominador. Portanto, pode haver assíntota vertical em x=1. Calculamos
limxto1^-f(x)=limxto1^-x(x-1)^2/3,
o sinal de (x-1)^2/3 é positivo tanto à esquerda quanto à direita de 1 (porque o quadrado anula o sinal antes da raiz cúbica), e o numerador tende a 1. Logo,
limxto1^-f(x)=+infty,
limxto1^+f(x)=+infty
Como os dois limites laterais dão +infty, existe assíntota vertical em x=1.

Passo 3

Agora vemos assíntotas horizontais estudando limites quando xtopminfty. Para xto+infty:
f(x)=x(x-1)^2/3=xx^2/3(1-1/x)^2/3=x^1/3(1-1/x)^-2/3
Quando xto+infty, temos (1-1/x)^-2/3to1 e x^1/3to+infty. Logo
limxto+inftyf(x)=+infty
Para xto-infty, de forma análoga, x^1/3to-infty e o fator (1-1/x)^-2/3to1, dando
limxto-inftyf(x)=-infty
Em ambos os casos não surge constante finita, portanto não há assíntota horizontal.

Passo 4

Concluímos que a função tem apenas uma assíntota vertical e nenhuma assíntota horizontal.

Resposta

Assíntota vertical: x=1; Assíntotas horizontais: nenhuma.

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