Para a função
dada abaixo, faça o que se pede:
Encontre os máximos e mínimos locais (se existem)
Passo 1
A questão pede para achar os extremos locais de f(x)=x/(x–1)^{2/3}. Vamos usar derivadas para encontrar pontos onde f′(x)=0 ou indefinida e depois analisar o sinal de f′(x).
Passo 2
Escrevendo f como produto com potência: f(x)=x·(x–1)^{−2/3}. Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia, temos
Passo 3
Os pontos críticos surgem quando f′(x)=0 ou f′(x) indefinida. A derivada se anula em x=3. Ela é indefinida em x=1, mas aí f nem está definida (há uma assíntota).
Passo 4
Para concluir o tipo de extremo, analisamos o sinal de f′(x):
- Em x<1 temos (x-3)<0 e (x-1)^{5/3}<0, logo f′>0 (função crescente).
- Entre 1 e 3, (x-3)<0 e (x-1)^{5/3}>0, logo f′<0 (decrescente).
- Para x>3, (x-3)>0 e (x-1)^{5/3}>0, logo f′>0 (crescente).
Isso mostra que x=3 é ponto de mínimo local.
Passo 5
Calculando o valor em x=3:
Resposta
A função não tem máximos locais. Possui um mínimo local em x=3, com valor f(3)=3/2^{2/3}.