Para a função f dada abaixo, faça o que se pede:
f(x)=x(-1+x)^2 / 3
Encontre os máximos e mínimos locais (se existem)

Passo 1

A questão pede para achar os extremos locais de f(x)=x/(x–1)^{2/3}. Vamos usar derivadas para encontrar pontos onde f′(x)=0 ou indefinida e depois analisar o sinal de f′(x).

Passo 2

Escrevendo f como produto com potência: f(x)=x·(x–1)^{−2/3}. Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia, temos
f'(x)=(x1)^−2/3+xcdotl(-tfrac23r)(x1)^-5/3=x1(x1)^5/3-2x3(x1)^5/3=x-33(x-1)^5/3

Passo 3

Os pontos críticos surgem quando f′(x)=0 ou f′(x) indefinida. A derivada se anula em x=3. Ela é indefinida em x=1, mas aí f nem está definida (há uma assíntota).

Passo 4

Para concluir o tipo de extremo, analisamos o sinal de f′(x):
  • Em x<1 temos (x-3)<0 e (x-1)^{5/3}<0, logo f′>0 (função crescente).
  • Entre 1 e 3, (x-3)<0 e (x-1)^{5/3}>0, logo f′<0 (decrescente).
  • Para x>3, (x-3)>0 e (x-1)^{5/3}>0, logo f′>0 (crescente).
    Isso mostra que x=3 é ponto de mínimo local.

Passo 5

Calculando o valor em x=3:
f(3)=3(3-1)^2/3=32^2/3

Resposta

A função não tem máximos locais. Possui um mínimo local em x=3, com valor f(3)=3/2^{2/3}.

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