Verifique que as seguintes séries são alternadas convergentes. Indique, justificando em cada caso, se a convergência é simples ou absoluta.
sumn=2^+infty (-1)^nln (n!) (Sugestão: n! )

Passo 1

O exercício pede para verificar que a série sumn=2^infty(-1)^nln(n!) é alternada e convergente, usando o critério de Leibniz, e em seguida decidir se a convergência é simples (condicional) ou absoluta.

Passo 2

Precisamos chamar bn=1ln(n!). Primeiro mostramos que (bn) é decrescente, pois a função f(x)=\ln(x!) cresce com x, logo para todo n>=2 vale
ln((n+1)!)=ln(n!)+ln(n+1)>ln(n!),
ainda que transforme em
$$
b_{n+1}=\frac1{\ln((n+1)!)}<\frac1{\ln(n!)}=b_n.$$
Mostramos que bn+1=1ln((n+1)!)<1ln(n!)=bn quando bnto0 porque ntoinfty. Logo
ln(n!)toinfty
Pelo critério de Leibniz (série alternada com termos monótonos decrescentes em módulo que tendem a zero), concluímos que a série limntoinftybn=limntoinfty1ln(n!)=0 converge.

Passo 3

Para testar a convergência absoluta, olhamos para
sumn=2^infty|an|=sumn=2^infty1ln(n!)
Usando a sugestão ln(n!) para n>=2, temos
1ln(n!)>1nln n
Como já se sabe que sum1/(nln n) diverge (teste da integral ou comparação com o integral), então por comparação sum1/ln(n!) também diverge.
Portanto a série original converge apenas de forma condicional (convergência simples), não absolutamente.

Resposta

A série converge condicionalmente (simples), mas não converge absolutamente.

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