Verifique que as seguintes séries são alternadas convergentes. Indique, justificando em cada caso, se a convergência é simples ou absoluta.
(Sugestão:
)
Passo 1
O exercício pede para verificar que a série
é alternada e convergente, usando o critério de Leibniz, e em seguida decidir se a convergência é simples (condicional) ou absoluta.
Passo 2
Precisamos chamar
. Primeiro mostramos que
é decrescente, pois a função f(x)=\ln(x!) cresce com x, logo para todo
vale
ainda que transforme em
$$
b_{n+1}=\frac1{\ln((n+1)!)}<\frac1{\ln(n!)}=b_n.$$
Mostramos que quando
porque
. Logo
Mostramos que
Pelo critério de Leibniz (série alternada com termos monótonos decrescentes em módulo que tendem a zero), concluímos que a série
Passo 3
Para testar a convergência absoluta, olhamos para
Usando a sugestão
Como já se sabe que
Portanto a série original converge apenas de forma condicional (convergência simples), não absolutamente.
Resposta
A série converge condicionalmente (simples), mas não converge absolutamente.