Deseja-se construir uma caixa sem tampa em forma de um cilindro circular reto de volume dado. Determine as dimensões da caixa, de forma que sua área seja a menor possível.
Passo 1
O enunciado pede construir uma caixa cilíndrica sem tampa de volume fixo V e determinar raio e altura que minimizem a área de material usada. O conteúdo envolve otimização de funções via derivadas, usando as fórmulas de volume e área de um cilindro.
Passo 2
Definimos o raio como r e a altura como h. A condição de volume fixo é
. A área total sem tampa é a soma da área da base com a área lateral, ou seja,
. Queremos minimizar A sujeito a V constante.
Passo 3
Isolamos h em função de r pela relação de volume:
Passo 4
e substituímos em A para obter A como função de r:
Simplificando, temos
Passo 5
Calculamos a derivada para encontrar o ponto crítico:
Igualando a zero dá
Passo 6
Para confirmar mínimo, o segundo derivado é
mostrando que esse ponto é mesmo um mínimo.
Passo 7
Agora determinamos h usando
:
Resposta
O raio ótimo é
e a altura ótima é
.