Deseja-se construir uma caixa sem tampa em forma de um cilindro circular reto de volume dado. Determine as dimensões da caixa, de forma que sua área seja a menor possível.

Passo 1

O enunciado pede construir uma caixa cilíndrica sem tampa de volume fixo V e determinar raio e altura que minimizem a área de material usada. O conteúdo envolve otimização de funções via derivadas, usando as fórmulas de volume e área de um cilindro.

Passo 2

Definimos o raio como r e a altura como h. A condição de volume fixo é V=pi r^2h. A área total sem tampa é a soma da área da base com a área lateral, ou seja, A=pi r^2+2pi rh. Queremos minimizar A sujeito a V constante.

Passo 3

Isolamos h em função de r pela relação de volume:
h=Vpi r^2

Passo 4

e substituímos em A para obter A como função de r:
A(r)=pi r^2+2pi rcdotVpi r^2
Simplificando, temos
A(r)=pi r^2+2Vr

Passo 5

Calculamos a derivada para encontrar o ponto crítico:
dAdr=2pi r-2Vr^2
Igualando a zero dá 2pi r=2V/r^2, ou seja pi r^3=V. Logo
r=l(tfracVpir)^1/3

Passo 6

Para confirmar mínimo, o segundo derivado é
d^2Adr^2=2pi+4Vr^3>0,
mostrando que esse ponto é mesmo um mínimo.

Passo 7

Agora determinamos h usando h=V/(pi r^2):
h=Vpil((V/pi)^1/3r)^2=l(tfracVpir)^1/3

Resposta

O raio ótimo é r=l(tfracVpir)^1/3 e a altura ótima é h=l(tfracVpir)^1/3.

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