Resolva o PVI^3
c (x^2-9) y^prime+x y=0 y(5)=y0
Qual o limite de y(x) quando x +infty. O limite depende de y0 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial com uma condição inicial. O que isso quer dizer é que precisamos encontrar uma função que satisfaça a equação e passe por um ponto específico, que nesse caso é . Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixar ela no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem. A equação dada é:
(x^2 - 9) y' + x y = 0
Dividindo todos os termos por y' + xx^2 - 9 y = 0 para isolar :
Aqui, temos uma equação da forma , onde .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral xx^2 - 9 dx , que é essencial para resolver equações lineares. O fator integrante é dado por:
integral xx^2 - 9 dx = 12 integral 1u du = 12 ln|u| + C = 12 ln|x^2 - 9| + C
Vamos calcular a integral no expoente. Fazendo uma substituição simples, deixamos mu(x) = e^12 ln|x^2 - 9| = raizx^2 - 9 , então , ou seja, . Assim:
Portanto, o fator integrante é:

Passo 4

Com o fator integrante, multiplicamos toda a equação diferencial por raizx^2 - 9 cdot y' + xraizx^2 - 9 y = 0 :
ddx ( y cdot raizx^2 - 9 ) = 0
Isso simplifica para:
y cdot raizx^2 - 9 = C
Integrando ambos os lados:
y(x) = Craizx^2 - 9
Onde y0 = Craiz25 - 9 Rightarrow y0 = C4 Rightarrow C = 4y0 é a constante de integração. Isolando y(x) = 4y0raizx^2 - 9 :
Agora, aplicamos a condição inicial :
Portanto, a solução da equação diferencial é:

Resposta

O limite de limx to +infty y(x) = 0 quando é zero, e esse limite não depende do valor de . Ou seja,
e esse resultado vale para qualquer valor de .

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