Resolva o
Qual o limite de
quando
. O limite depende de
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial com uma condição inicial. O que isso quer dizer é que precisamos encontrar uma função
que satisfaça a equação e passe por um ponto específico, que nesse caso é
. Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixar ela no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem. A equação dada é:
Dividindo todos os termos por
para isolar
:
Aqui, temos uma equação da forma
, onde
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é essencial para resolver equações lineares. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular a integral no expoente. Fazendo uma substituição simples, deixamos
, então
, ou seja,
. Assim:
Portanto, o fator integrante é:
Passo 4
Com o fator integrante, multiplicamos toda a equação diferencial por
:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Isolando
:
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Portanto, a solução da equação diferencial é:
Resposta
O limite de
quando
é zero, e esse limite não depende do valor de
. Ou seja,
e esse resultado vale para qualquer valor de
.