Para cada função dada nos itens a seguir, determine os pontos críticos, os pontos de máximo e de mínimo, as regiões de crescimento e decrescimento, a concavidade e os pontos de inflexão, as assíntotas, caso existam e construam os respectivos gráficos.
(e) f(x)=xx^2+1

Passo 1

Temos a função f(x)=xx^2+1. O conteúdo envolve derivadas primeira e segunda, estudo de monotonia, concavidade, pontos críticos, inflexão, assíntotas e esboço de gráfico.

Passo 2

Para começar, determinamos o domínio, interceptos e possíveis assíntotas. O denominador x^2+1>0 para todo x, então o domínio é R. O intercepto em y é f(0)=0, e não há raízes do denominador, logo não há assíntote vertical. Como limxtopminftyf(x)=0, existe assíntote horizontal em y=0.

Passo 3

Calculamos a derivada primeira para achar pontos críticos e intervalos de crescimento/decrescimento. Temos
f'(x)=(1)(x^2+1)-x(2x)(x^2+1)^2=1-x^2(x^2+1)^2

Passo 4

Zeramos o numerador: 1-x^2=0 x=pm1. Testando o sinal de f':
  • Para |x|<1, 1-x^2>0 f'>0 (cresce).
  • Para |x|>1, 1-x^2<0 f'<0 (decresce).
    Logo, x=-1 é ponto de mínimo local e x=1 ponto de máximo local, com f(-1)=-tfrac12 e f(1)=tfrac12.

Passo 5

Em seguida, calculamos a derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão. Encontramos
f''(x)=2x(x^2-3)(x^2+1)^3

Passo 6

Zerando o numerador: 2x(x^2-3)=0 x=0,pmraiz3. Analisando o sinal de f'':
  • x<-raiz3: x^2-3>0 e x<0 f''<0 (côncavo para baixo).
  • -raiz3: x^2-3<0 e x<0 f''>0 (côncavo para cima).
  • 0: x^2-3<0 e x>0 f''<0 (côncavo para baixo).
  • x>raiz3: x^2-3>0 e x>0 f''>0 (côncavo para cima).
    Portanto, há pontos de inflexão em x=-raiz3,0,raiz3, com valores f(pmraiz3)=pmtfracraiz34 e f(0)=0.

Passo 7

Com tudo isso, podemos classificar os extremos e descrever o gráfico aproximado, destacando mínimo em (-1,-tfrac12), máximo em (1,tfrac12), assíntote horizontal y=0, crescimento em (-1,1), decrescimento em ( -infty,-1)cup(1,infty), concavidade e pontos de inflexão conforme obtido.

Resposta

Domínio: R.
Assíntotes: nenhuma vertical; horizontal em y=0.
Pontos críticos: x=-1 (mínimo local, f(-1)=-tfrac12), x=1 (máximo local, f(1)=tfrac12).
Crescimento: xin(-1,1). Decrescimento: xin(-infty,-1)cup(1,infty).
Pontos de inflexão: x=-raiz3 com f=-tfracraiz34, x=0 com f=0, x=raiz3 com f=tfracraiz34.
Concavidade: para baixo em ( -infty,-raiz3 )cup(0,raiz3); para cima em ( -raiz3,0 )cup(raiz3,infty).
Esboço: curva cruza a origem, sobe até (1,0.5), desce, aproxima-se de zero, com inflexões em x=pmraiz3 e em 0.

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