Para cada função dada nos itens a seguir, determine os pontos críticos, os pontos de máximo e de mínimo, as regiões de crescimento e decrescimento, a concavidade e os pontos de inflexão, as assíntotas, caso existam e construam os respectivos gráficos.
(e)
(e)
Passo 1
Temos a função
. O conteúdo envolve derivadas primeira e segunda, estudo de monotonia, concavidade, pontos críticos, inflexão, assíntotas e esboço de gráfico.
Passo 2
Para começar, determinamos o domínio, interceptos e possíveis assíntotas. O denominador
para todo
, então o domínio é
. O intercepto em
é
, e não há raízes do denominador, logo não há assíntote vertical. Como
, existe assíntote horizontal em
.
Passo 3
Calculamos a derivada primeira para achar pontos críticos e intervalos de crescimento/decrescimento. Temos
Passo 4
Zeramos o numerador:
dá
. Testando o sinal de
:
- Para
, → (cresce). - Para
, → (decresce).
Logo,é ponto de mínimo local e ponto de máximo local, com e .
Passo 5
Em seguida, calculamos a derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão. Encontramos
Passo 6
Zerando o numerador:
dá
. Analisando o sinal de
:
-
: e → (côncavo para baixo). -
: e → (côncavo para cima). -
: e → (côncavo para baixo). -
: e → (côncavo para cima).
Portanto, há pontos de inflexão em, com valores e .
Passo 7
Com tudo isso, podemos classificar os extremos e descrever o gráfico aproximado, destacando mínimo em
, máximo em
, assíntote horizontal
, crescimento em
, decrescimento em
, concavidade e pontos de inflexão conforme obtido.
Resposta
Domínio:
.
Assíntotes: nenhuma vertical; horizontal em .
Pontos críticos: (mínimo local,
),
(máximo local,
).
Crescimento: . Decrescimento:
.
Pontos de inflexão: com
,
com
,
com
.
Concavidade: para baixo em ; para cima em
.
Esboço: curva cruza a origem, sobe até , desce, aproxima-se de zero, com inflexões em
e em
.
Assíntotes: nenhuma vertical; horizontal em
Pontos críticos:
Crescimento:
Pontos de inflexão:
Concavidade: para baixo em
Esboço: curva cruza a origem, sobe até