Resolva o problema de valor inicial,
, onde
.
Analise o comportamento da solução quando
. O limite depende de
?
Analise o comportamento da solução quando
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial com uma condição inicial. Nosso objetivo é resolver essa equação e depois analisar como a solução se comporta quando
cresce sem limites (ou seja, quando
). Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares de primeira ordem e o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de equação que temos:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que geralmente tem a forma:
Aqui,
e
.
Passo 3
Para resolver esse tipo de equação, usamos o método do fator integrante. O fator integrante,
, é dado por:
Vamos calcular
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação à forma:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para
.
No lado direito, fazemos uma substituição: seja
, então
, ou seja,
.
Assim, a integral fica:
Passo 6
Voltando à nossa equação integrada:
Agora, resolvemos para
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
:
Quando
:
Então,
.
Passo 8
Substituímos
de volta na expressão de
:
Passo 9
Agora, analisamos o comportamento da solução quando
. Olhando para a expressão:
Quando
cresce,
tende a zero porque o expoente é negativo e cresce muito rapidamente. Portanto:
Resposta
A solução da equação diferencial é
. Quando
tende para
,
se aproxima de
, independentemente do valor inicial
. Ou seja, o limite não depende de
.