Resolva o problema de valor inicial, y^prime+5 x^4 y=x^4, onde y(0)=y0.
Analise o comportamento da solução quando x +infty. O limite depende de y0 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial com uma condição inicial. Nosso objetivo é resolver essa equação e depois analisar como a solução se comporta quando cresce sem limites (ou seja, quando ). Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares de primeira ordem e o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de equação que temos:
y' + 5x^4 y = x^4
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que geralmente tem a forma:
y' + P(x) y = Q(x)
Aqui, e .

Passo 3

Para resolver esse tipo de equação, usamos o método do fator integrante. O fator integrante, mu(x) = e^integral P(x) , dx , é dado por:
mu(x) = e^integral 5x^4 , dx = e^x^5
Vamos calcular :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante e^x^5 y' + 5x^4 e^x^5 y = x^4 e^x^5 :
ddx ( e^x^5 y ) = x^4 e^x^5
Isso simplifica a equação à forma:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a integral ddx ( e^x^5 y ) dx = integral x^4 e^x^5 , dx :
integral x^4 e^x^5 , dx = integral e^u cdot du5 = 15 e^u + C = 15 e^x^5 + C
O lado esquerdo simplifica para .
No lado direito, fazemos uma substituição: seja , então , ou seja, .
Assim, a integral fica:

Passo 6

Voltando à nossa equação integrada:
e^x^5 y = 15 e^x^5 + C
Agora, resolvemos para y = 15 + C e^-x^5 :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial y0 = 15 + C e^0 implies y0 = 15 + C :
Quando :
Então, .

Passo 8

Substituímos y = 15 + ( y0 - 15 ) e^-x^5 de volta na expressão de :

Passo 9

Agora, analisamos o comportamento da solução quando y = 15 + ( y0 - 15 ) e^-x^5 . Olhando para a expressão:
limx to +infty y = 15 + 0 = 15
Quando cresce, tende a zero porque o expoente é negativo e cresce muito rapidamente. Portanto:

Resposta

A solução da equação diferencial é . Quando tende para , se aproxima de , independentemente do valor inicial . Ou seja, o limite não depende de .

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