Determinar o tipo das seguintes equações diferenciais e indicar o método de resolução:
(y^prime-2 x y) raizy=x^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que é assim:
(y' - 2xy) raizy = x^3
O trabalho aqui é descobrir que tipo de equação é essa e qual método a gente deve usar para resolver. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e ver qual se encaixa melhor com essa.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação pra ficar mais fácil de analisar. Vamos dividir ambos os lados por raizy para isolar y':
y' - 2xy = x^3raizy
Agora, a equação ficou na forma:
y' + P(x)y = Q(x)y^-1/2
Isso não parece uma equação linear padrão porque o lado direito envolve y^-1/2, que é uma função não linear de y.

Passo 3

Vamos tentar ver se essa equação pode ser transformada em uma equação linear. Para isso, vamos fazer uma substituição que simplifique o expoente de y. Vamos deixar v = y^1/2, ou seja, v = raizy. Assim, y = v^2.

Passo 4

Agora, vamos encontrar y' em termos de v. Diferenciando y = v^2 em relação a x, temos:
y' = 2v v'
Substituindo y e y' na equação original:
2v v' - 2x v^2 = x^3v

Passo 5

Vamos dividir todos os termos por v para simplificar:
2v' - 2x v = x^3 v^-1
Multiplicando ambos os lados por v, obtemos:
2v v' - 2x v^2 = x^3
Isso nos leva de volta à equação original, indicando que talvez a substituição v = y^1/2 não tenha simplificado como esperávamos. Vamos tentar outra abordagem.

Passo 6

Vamos reescrever a equação original:
(y' - 2xy) raizy = x^3
Expandindo:
y' raizy - 2xy raizy = x^3
Podemos ver que y' raizy sugere uma derivada de y^3/2. Vamos verificar isso.

Passo 7

Calculando a derivada de y^3/2:
ddx ( y^3/2 ) = 32 y^1/2 y'
Comparando com a nossa equação, vemos que:
y' raizy = 23 ddx ( y^3/2 )
Substituindo na equação:
23 ddx ( y^3/2 ) - 2x y raizy = x^3
Simplificando:
ddx ( y^3/2 ) - 3x y^3/2 = 32 x^3
Agora, a equação está na forma linear para y^3/2.

Passo 8

Vamos chamar u = y^3/2. Então, a equação fica:
dudx - 3x u = 32 x^3
Essa é uma equação linear de primeira ordem, que podemos resolver usando o fator integrante.

Passo 9

O fator integrante é dado por:
mu(x) = e^integral -3x dx = e^- 32x^2
Multiplicando toda a equação por mu(x):
e^- 32x^2 dudx - 3x e^- 32x^2 u = 32 x^3 e^- 32x^2
Isso permite que o lado esquerdo seja a derivada de mu(x) u.

Passo 10

Integrando ambos os lados:
integral ddx ( e^- 32x^2 u ) dx = integral 32 x^3 e^- 32x^2 dx
Resolvendo a integral do lado direito com substituição, obtemos uma expressão para u.

Resposta

Depois de resolver, encontramos que:
y = ( x^21 + C )^2/3
onde C é a constante de integração.

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