Determinar o tipo das seguintes equações diferenciais e indicar o método de resolução:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que é assim:
O trabalho aqui é descobrir que tipo de equação é essa e qual método a gente deve usar para resolver. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e ver qual se encaixa melhor com essa.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação pra ficar mais fácil de analisar. Vamos dividir ambos os lados por
para isolar
:
Agora, a equação ficou na forma:
Isso não parece uma equação linear padrão porque o lado direito envolve
, que é uma função não linear de
.
Passo 3
Vamos tentar ver se essa equação pode ser transformada em uma equação linear. Para isso, vamos fazer uma substituição que simplifique o expoente de
. Vamos deixar
, ou seja,
. Assim,
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar
em termos de
. Diferenciando
em relação a
, temos:
Substituindo
e
na equação original:
Passo 5
Vamos dividir todos os termos por
para simplificar:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Isso nos leva de volta à equação original, indicando que talvez a substituição
não tenha simplificado como esperávamos. Vamos tentar outra abordagem.
Passo 6
Vamos reescrever a equação original:
Expandindo:
Podemos ver que
sugere uma derivada de
. Vamos verificar isso.
Passo 7
Calculando a derivada de
:
Comparando com a nossa equação, vemos que:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Agora, a equação está na forma linear para
.
Passo 8
Vamos chamar
. Então, a equação fica:
Essa é uma equação linear de primeira ordem, que podemos resolver usando o fator integrante.
Passo 9
O fator integrante é dado por:
Multiplicando toda a equação por
:
Isso permite que o lado esquerdo seja a derivada de
.
Passo 10
Integrando ambos os lados:
Resolvendo a integral do lado direito com substituição, obtemos uma expressão para
.
Resposta
Depois de resolver, encontramos que:
onde
é a constante de integração.