Deseja-se construir uma caixa sem tampa, com o formato de um paralelepípedo retângulo (ou seja, um caixote retangular), com volume igual a 1 metro cúbico (
).
As dimensões da caixa são chamadas de:
-
: comprimento
-
: largura
-
: altura
O material usado nas laterais (ou seja, nas quatro faces verticais) custa o dobro do que o material usado no fundo da caixa.
A tarefa é:
Com esses valores, calcular a soma
.
As dimensões da caixa são chamadas de:
O material usado nas laterais (ou seja, nas quatro faces verticais) custa o dobro do que o material usado no fundo da caixa.
A tarefa é:
Com esses valores, calcular a soma
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente construir uma caixa sem tampa, com volume de
. As dimensões dessa caixa são
(comprimento),
(largura) e
(altura). Além disso, o material usado nas laterais da caixa custa o dobro do que o material usado no fundo. Nosso objetivo é calcular a soma
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de otimização e geometria para relacionar o volume da caixa com os custos dos materiais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o volume
de um paralelepípedo retângulo é dado por:
Sabemos que
Passo 3
Agora, vamos considerar os custos dos materiais. O custo total
da caixa depende das áreas das faces e do custo por unidade de área de cada material. As faces da caixa são:
- Fundo: área
, custo por unidade . - Laterais: quatro faces, cada uma com área
ou , custo por unidade .
Então, o custo total é:
Simplificando:
Passo 4
Para facilitar, podemos dividir tudo por
(já que
é constante e positiva, isso não altera a otimização):
Passo 5
Queremos minimizar o custo
sujeito à restrição de volume
. Podemos usar o método de Lagrange para isso. Definimos a função Lagrange $ \mathcal{L} $:
Passo 6
Agora, derivamos parcialmente $ \mathcal{L} $ em relação a
,
,
e
, e igualamos a zero:
Passo 7
Vamos resolver essas equações:
Da equação 4:
Da equação 1 e 2:
Dividindo a primeira pela segunda:
Simplificando:
Multiplicando cruzado:
Cancelando
Dividindo por 4c:
Passo 8
Sabemos que
. Vamos utilizar isso na equação 3:
Como
Dividindo por
Passo 9
Vamos usar
na restrição do volume:
Passo 10
Agora, substituímos
e
na equação 1:
Como
Simplificando o lado direito:
Subtraindo
Multiplicando tudo por
para eliminar os denominadores:
Passo 11
Agora que temos
, vamos encontrar
:
Passo 12
Finalmente, calculamos
:
Resposta
A soma
é igual a
, ou aproximadamente 4.52 metros.