Deseja-se construir uma caixa sem tampa, com o formato de um paralelepípedo retângulo (ou seja, um caixote retangular), com volume igual a 1 metro cúbico ( 1 m^3).
As dimensões da caixa são chamadas de:
  • a: comprimento
  • b: largura
  • c: altura
    O material usado nas laterais (ou seja, nas quatro faces verticais) custa o dobro do que o material usado no fundo da caixa.
    A tarefa é:
    Com esses valores, calcular a soma a+b+c.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente construir uma caixa sem tampa, com volume de 1, m^3. As dimensões dessa caixa são a (comprimento), b (largura) e c (altura). Além disso, o material usado nas laterais da caixa custa o dobro do que o material usado no fundo. Nosso objetivo é calcular a soma a + b + c. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de otimização e geometria para relacionar o volume da caixa com os custos dos materiais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o volume V de um paralelepípedo retângulo é dado por:
V = a times b times c
Sabemos que V = 1, m^3, então:
a times b times c = 1

Passo 3

Agora, vamos considerar os custos dos materiais. O custo total C da caixa depende das áreas das faces e do custo por unidade de área de cada material. As faces da caixa são:
  • Fundo: área a times b, custo por unidade k.
  • Laterais: quatro faces, cada uma com área a times c ou b times c, custo por unidade 2k.
Então, o custo total é:
C = k times (a times b) + 2k times 2(a times c + b times c)
Simplificando:
C = kab + 4k(ac + bc)

Passo 4

Para facilitar, podemos dividir tudo por k (já que k é constante e positiva, isso não altera a otimização):
Ck = ab + 4(ac + bc)

Passo 5

Queremos minimizar o custo C sujeito à restrição de volume a times b times c = 1. Podemos usar o método de Lagrange para isso. Definimos a função Lagrange $ \mathcal{L} $:
L

Passo 6

Agora, derivamos parcialmente $ \mathcal{L} $ em relação a L , a, b e c, e igualamos a zero:
  1. lambda
  2. partial Lpartial a = b + 4c - lambda bc = 0
  3. partial Lpartial b = a + 4c - lambda ac = 0
  4. partial Lpartial c = 4a + 4b - lambda ab = 0

Passo 7

Vamos resolver essas equações:
Da equação 4:
abc = 1
Da equação 1 e 2:
b + 4c = lambda bc
a + 4c = lambda ac
Dividindo a primeira pela segunda:
b + 4ca + 4c = lambda bclambda ac = ba
Simplificando:
b + 4ca + 4c = ba
Multiplicando cruzado:
a(b + 4c) = b(a + 4c)
ab + 4ac = ab + 4bc
Cancelando ab:
4ac = 4bc
Dividindo por 4c:
a = b

Passo 8

Sabemos que a = b. Vamos utilizar isso na equação 3:
4a + 4b = lambda ab
Como a = b:
4a + 4a = lambda a^2
8a = lambda a^2
Dividindo por a (assumindo a neq 0):
8 = lambda a
lambda = 8a

Passo 9

Vamos usar a = b na restrição do volume:
a times a times c = 1
a^2 c = 1
c = 1a^2

Passo 10

Agora, substituímos lambda e c na equação 1:
b + 4c = lambda bc
Como a = b e c = 1a^2, temos:
a + 4 ( 1a^2 ) = 8a times a times 1a^2
Simplificando o lado direito:
a + 4a^2 = 8a^2
Subtraindo a dos dois lados:
4a^2 = 8a^2 - a
Multiplicando tudo por a^2 para eliminar os denominadores:
4 = 8 - a^3
a^3 = 8 - 4
a^3 = 4
a = raiz[3]4

Passo 11

Agora que temos a = b = raiz[3]4, vamos encontrar c:
c = 1a^2 = 1(raiz[3]4)^2 = 14^2/3 = 4^-2/3

Passo 12

Finalmente, calculamos a + b + c:
a + b + c = raiz[3]4 + raiz[3]4 + 4^-2/3
a + b + c = 2 times raiz[3]4 + 4^-2/3

Resposta

A soma a + b + c é igual a 2 times raiz[3]4 + 4^-2/3, ou aproximadamente 4.52 metros.

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