p(x)=a0+a1 x+a2 x^2+ldots+an x^n=sumj=0^n aj x^j
Os somatórios são utilizados para simplificar a representação da operação de adição em expressões algébricas. Para tal, utiliza-se a notação Sigma, letra grega sigma em maiúsculo. Nesse caso, uma soma simples pode ser representada por:
sumi=1^n Xi=X1+X2+ldots+Xn
Lê-se sumi=1^n Xi como somatório de X índice i, com i variando de 1 até n, onde n é a ordem da última parcela ou limite superior ( $L S $ ) do somatório;
1 é a ordem da primeira parcela ou limite inferior ( $L I $ ) do somatório e
L S é o índice que está indexando os valores da variável L I (outras letras podem ser utilizadas).
O número de termos ou parcelas de um somatório i pode ser obtido por
X
Se o somatório está sujeito a (N T) restrições, basta fazer:
N T=(L S-L I)+1
Exemplos: Obter o número de termos para os seguintes somatórios:
a) r. Tem-se N T=(L S-L I)+1-r .
b) sumi=3^8 Xi. Tem-se N T=(8-3)+1=6.
c) sumk=1, k neq 9, k neq 11^15 Yk. Tem-se N T=(15-1)+1-2=13.
Observe que sumk=1^9 suml=5^8 Zk l
Algumas propriedades dos somatórios são as seguintes:
  1. N T=[(9-1)+1] cdot[(8-5)+1]=9.4=36, onde sumk=1^9 suml=5^8 Zk l=(Z15+Z16+Z17+Z18)+(Z25+Z26+Z27+Z28)+ldots+(Z95+Z96+Z97+Z98) é uma constante e sumi=1^n K=n K é o número de termos do somatório.
  2. K, onde n é uma constante.
  3. sumi=1^n K Xi=K sumi=1^n Xi.
    Além dos somatórios, podemos facilitar a representação dos produtos por meio do símbolo produtório. Para tal, utiliza-se a notação K, letra grega pi, em maiúsculo. Nesse caso,
sumi=1^n(Xi+Yi-Wi)=sumi=1^n Xi+sumi=1^n Yi-sumi=1^n Wi
Algumas propriedades dos produtórios são as seguintes:
  1. prod, onde prodi=1^n Xi=X1 cdot X2 ldots Xn é uma constante e prodi=1^n K=K^n é o número de termos do produtório.
  2. K, onde n é uma constante.
  3. prodi=1^n K Xi=K^n prodi=1^n Xi.
    Agora sim, chegamos ao exercício 2 desta lista!
    Para resolução dos itens abaixo, as propriedades apresentadas referentes aos somatórios serão utilizadas.
    3a
    Sabendo que K e prodi=1^n Xi cdot Yi=(prodi=1^n Xi) cdot(prodi=1^n Yi), calcule:
    3a(i) sumi=1^5 Xi=-6.

Passo 1

O exercício pede para calcular o somatório sumi=1^5(4Xi + 5) sabendo que sumi=1^5Xi = -6 e sumi=1^5Xi^2 = 12. O conteúdo envolvido é a propriedade de linearidade de somatórios, que nos permite separar constantes e termos lineares.

Passo 2

Pela propriedade de soma de somatórios, podemos escrever
sumi=1^5(4Xi + 5) = sumi=1^54Xi + sumi=1^55

Passo 3

Aplicando as propriedades:
  • Para sumi=1^54Xi, usamos sumi=1^nKXi = Ksumi=1^nXi, logo
sumi=1^54Xi = 4sumi=1^5Xi = 4 cdot (-6) = -24
  • Para sumi=1^55, usamos sumi=1^nK = nK, logo
sumi=1^55 = 5 cdot 5 = 25

Passo 4

Somando os resultados obtidos, temos
sumi=1^5(4Xi + 5) = -24 + 25 = 1

Resposta

1

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