Uma mistura com 7 componentes é submetida a uma destilação Flash a uma dada temperatura e pressão. Os valores de
e as composições de alimentação são dadas abaixo:
Componentes
1
0,0079
16,2
2
0,1321
5,2
3
0,0849
2,6
4
0,2690
1,9
5
0,0589
0,91
6
0,1321
0,72
7
0,3151
0,28
a) Use o método de Newton (mostre os passos - valores de
e
) para obter a fração de vapor para uma operação flash em equilíbrio.
b) Determine as composições resultantes no líquido
, e vapor
, para
até 7 .
| Componentes |
|
|
| 1 | 0,0079 | 16,2 |
| 2 | 0,1321 | 5,2 |
| 3 | 0,0849 | 2,6 |
| 4 | 0,2690 | 1,9 |
| 5 | 0,0589 | 0,91 |
| 6 | 0,1321 | 0,72 |
| 7 | 0,3151 | 0,28 |
b) Determine as composições resultantes no líquido
Passo 1
O problema pede duas coisas:
- A fração de vapor na operação flash, isto é
(fração molar de vapor formada). - As composições no líquido
e no vapor para .
Informações fornecidas (peguei todos os dados do enunciado):
O enunciado pede que eu use o método de Newton e mostre os passos (valores de
e
). A resolução começa no próximo passo.]
Passo 2
Apresento a equação que vamos resolver (equação de Rachford–Rice). Defina a função
A raiz dessa função (valor de
tal que
) é a fração de vapor do flash. Aqui:
-
é a fração molar na alimentação (dado), -
é o coeficiente de equilíbrio vapor–líquido (dado), -
é a fração molar de vapor que queremos achar.
Explico por que essa função: a conservação de massa para cada componente dá
e
. Isolando
obtemos
e impondo
(ou a forma alternativa) resulta na função
acima. Em prova, decore/entenda essa forma — é a forma padrão do problema flash.
Para aplicar Newton precisamos também de
. Derivando,
Método de Newton: a iteração é
Vou executar as iterações mostrando
,
e, quando útil,
. Começo com uma estimativa razoável
(valor comum inicial, dentro do intervalo físico
).
Passo 3
Cálculos auxiliares: computo
para todos os componentes (vou usar estes valores repetidamente):
Passo 4
Iteração 0:
.
Calculo dos termos
e soma para achar
.
(Os cálculos abaixo mostram apenas os valores finais de cada termo; se precisar eu detalho cada divisão passo a passo.)
(Os cálculos abaixo mostram apenas os valores finais de cada termo; se precisar eu detalho cada divisão passo a passo.)
Termos individuais em
:
Somando:
Derivada
(soma das contribuições negativas):
Aplicando Newton:
Resumo da iteração:
Passo 5
Iteração 1:
.
Calculo
novamente (mesma fórmula, denominadores atualizados):
Termos individuais em :
Termos individuais em
Somando:
Derivada:
Correção Newton:
Resumo:
Passo 6
Iteração 2: com
recalculei
. O valor de
é agora da ordem de
ou menor (próximo de zero dentro de tolerância numérica), então consideramos convergido para 6 casas decimais. Portanto a solução obtida é
Em prova você pode aceitar convergência quando
fica muito pequeno (por exemplo
) ou quando a diferença entre iterações é pequena.
Passo 7
Agora obtenho as composições
e
. Usei a fórmula já citada:
Aqui o denominador
é exatamente o mesmo que apareceu na função
.
Com
(arredondado para apresentação) calculei cada componente:
Cálculos (mostro resultado numérico com 6 casas significativas quando apropriado):
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Verificação rápida:
e
(diferenças pequenas por arredondamento), o que confirma consistência numérica.