Uma mistura com 7 componentes é submetida a uma destilação Flash a uma dada temperatura e pressão. Os valores de K e as composições de alimentação são dadas abaixo:
Componentes z_{i} \mathbf{k}_{\mathbf{j}}
1 0,0079 16,2
2 0,1321 5,2
3 0,0849 2,6
4 0,2690 1,9
5 0,0589 0,91
6 0,1321 0,72
7 0,3151 0,28
a) Use o método de Newton (mostre os passos - valores de \Psi e f(\Psi) ) para obter a fração de vapor para uma operação flash em equilíbrio.
b) Determine as composições resultantes no líquido x_{i}, e vapor y_{i}, para i=1 até 7 .

Passo 1

O problema pede duas coisas:
  1. A fração de vapor na operação flash, isto é \Psi (fração molar de vapor formada).
  2. As composições no líquido x_{i} e no vapor y_{i} para i=1,\dots,7.
Informações fornecidas (peguei todos os dados do enunciado):
\begin{array}{ll} z_{1}=0{,}0079,\; K_{1}=16{,}2\\[2pt] z_{2}=0{,}1321,\; K_{2}=5{,}2\\[2pt] z_{3}=0{,}0849,\; K_{3}=2{,}6\\[2pt] z_{4}=0{,}2690,\; K_{4}=1{,}9\\[2pt] z_{5}=0{,}0589,\; K_{5}=0{,}91\\[2pt] z_{6}=0{,}1321,\; K_{6}=0{,}72\\[2pt] z_{7}=0{,}3151,\; K_{7}=0{,}28 \end{array}
O enunciado pede que eu use o método de Newton e mostre os passos (valores de \Psi e f(\Psi)). A resolução começa no próximo passo.]

Passo 2

Apresento a equação que vamos resolver (equação de Rachford–Rice). Defina a função
f(\Psi)=\sum_{i=1}^{7} \frac{z_{i}(K_{i}-1)}{1+\Psi (K_{i}-1)}.
A raiz dessa função (valor de \Psi tal que f(\Psi)=0) é a fração de vapor do flash. Aqui:
  • z_{i} é a fração molar na alimentação (dado),
  • K_{i} é o coeficiente de equilíbrio vapor–líquido (dado),
  • \Psi é a fração molar de vapor que queremos achar.
Explico por que essa função: a conservação de massa para cada componente dá z_{i}=(1-\Psi)x_{i}+\Psi y_{i} e y_{i}=K_{i}x_{i}. Isolando x_{i} obtemos
x_{i}=\frac{z_{i}}{1+\Psi(K_{i}-1)},
e impondo \sum x_i = 1 (ou a forma alternativa) resulta na função f(\Psi) acima. Em prova, decore/entenda essa forma — é a forma padrão do problema flash.
Para aplicar Newton precisamos também de f'(\Psi). Derivando,
f'(\Psi)=-\sum_{i=1}^{7} \frac{z_{i}(K_{i}-1)^{2}}{\bigl(1+\Psi (K_{i}-1)\bigr)^{2}}.
Método de Newton: a iteração é
\Psi_{n+1}=\Psi_{n}-\frac{f(\Psi_{n})}{f'(\Psi_{n})}.
Vou executar as iterações mostrando \Psi_{n}, f(\Psi_{n}) e, quando útil, f'(\Psi_{n}). Começo com uma estimativa razoável \Psi_{0}=0{,}5 (valor comum inicial, dentro do intervalo físico 0\le\Psi\le1).

Passo 3

Cálculos auxiliares: computo K_{i}-1 para todos os componentes (vou usar estes valores repetidamente):
\begin{array}{l} K_{1}-1=15{,}2,\\\ K_{2}-1=4{,}2,\\\ K_{3}-1=1{,}6,\\\ K_{4}-1=0{,}9,\\\ K_{5}-1=-0{,}09,\\\ K_{6}-1=-0{,}28,\\\ K_{7}-1=-0{,}72. \end{array}

Passo 4

Iteração 0: \Psi_{0}=0{,}5.
Calculo dos termos \dfrac{z_{i}(K_{i}-1)}{1+\Psi_{0}(K_{i}-1)} e soma para achar f(\Psi_{0}).
(Os cálculos abaixo mostram apenas os valores finais de cada termo; se precisar eu detalho cada divisão passo a passo.)
Termos individuais em f(\Psi_{0}):
\begin{array}{l} \text{componente }1:\; 0{,}013962,\\\ \text{componente }2:\; 0{,}17865,\\\ \text{componente }3:\; 0{,}075467,\\\ \text{componente }4:\; 0{,}16700,\\\ \text{componente }5:\; -0{,}005552,\\\ \text{componente }6:\; -0{,}04300,\\\ \text{componente }7:\; -0{,}35449. \end{array}
Somando:
f(0{,}5)\approx 0{,}03204.
Derivada f'(\Psi_{0}) (soma das contribuições negativas):
f'(0{,}5)\approx -0{,}85131.
Aplicando Newton:
\Psi_{1}=\Psi_{0}-\frac{f(\Psi_{0})}{f'(\Psi_{0})}=0{,}5-\frac{0{,}03204}{-0{,}85131}\approx 0{,}53763.
Resumo da iteração:
\Psi_{0}=0{,}5,\qquad f(\Psi_{0})\approx 0{,}03204,\qquad f'(\Psi_{0})\approx -0{,}85131,
\Psi_{1}\approx 0{,}53763.

Passo 5

Iteração 1: \Psi_{1}=0{,}53763.
Calculo f(\Psi_{1}) novamente (mesma fórmula, denominadores atualizados):
Termos individuais em f(\Psi_{1}):
\begin{array}{l} \text{componente }1:\; 0{,}013095,\\\ \text{componente }2:\; 0{,}17031,\\\ \text{componente }3:\; 0{,}07302,\\\ \text{componente }4:\; 0{,}16316,\\\ \text{componente }5:\; -0{,}005571,\\\ \text{componente }6:\; -0{,}04355,\\\ \text{componente }7:\; -0{,}37019. \end{array}
Somando:
f(0{,}53763)\approx 0{,}000295.
Derivada:
f'(0{,}53763)\approx -0{,}8530.
Correção Newton:
\Psi_{2}=\Psi_{1}-\frac{f(\Psi_{1})}{f'(\Psi_{1})}\approx 0{,}53763-\frac{0{,}000295}{-0{,}8530}\approx 0{,}537977.
Resumo:
\Psi_{1}\approx 0{,}53763,\qquad f(\Psi_{1})\approx 0{,}000295,\qquad f'(\Psi_{1})\approx -0{,}8530,
\Psi_{2}\approx 0{,}537977.

Passo 6

Iteração 2: com \Psi_{2}\approx 0{,}537977 recalculei f(\Psi_{2}). O valor de f é agora da ordem de 10^{-7} ou menor (próximo de zero dentro de tolerância numérica), então consideramos convergido para 6 casas decimais. Portanto a solução obtida é
\boxed{\Psi\approx 0{,}53798.}
Em prova você pode aceitar convergência quando |f(\Psi)| fica muito pequeno (por exemplo <10^{-6}) ou quando a diferença entre iterações é pequena.

Passo 7

Agora obtenho as composições x_{i} e y_{i}. Usei a fórmula já citada:
x_{i}=\frac{z_{i}}{1+\Psi (K_{i}-1)},\qquad y_{i}=K_{i}x_{i}.
Aqui o denominador 1+\Psi(K_{i}-1) é exatamente o mesmo que apareceu na função f.
Com \Psi=0{,}537977 (arredondado para apresentação) calculei cada componente:
Cálculos (mostro resultado numérico com 6 casas significativas quando apropriado):
Para i=1:
1+\Psi(K_{1}-1)\approx 9{,}17725,\quad x_{1}=\frac{0{,}0079}{9{,}17725}\approx 0{,}0008608,\quad y_{1}=16{,}2\cdot 0{,}0008608\approx 0{,}01395.
Para i=2:
1+\Psi(K_{2}-1)\approx 3{,}25911,\quad x_{2}=\frac{0{,}1321}{3{,}25911}\approx 0{,}04055,\quad y_{2}=5{,}2\cdot 0{,}04055\approx 0{,}21086.
Para i=3:
1+\Psi(K_{3}-1)\approx 1{,}86076,\quad x_{3}=\frac{0{,}0849}{1{,}86076}\approx 0{,}04563,\quad y_{3}=2{,}6\cdot 0{,}04563\approx 0{,}11864.
Para i=4:
1+\Psi(K_{4}-1)\approx 1{,}48418,\quad x_{4}=\frac{0{,}2690}{1{,}48418}\approx 0{,}18127,\quad y_{4}=1{,}9\cdot 0{,}18127\approx 0{,}34441.
Para i=5:
1+\Psi(K_{5}-1)\approx 0{,}95158,\quad x_{5}=\frac{0{,}0589}{0{,}95158}\approx 0{,}06190,\quad y_{5}=0{,}91\cdot 0{,}06190\approx 0{,}05633.
Para i=6:
1+\Psi(K_{6}-1)\approx 0{,}84937,\quad x_{6}=\frac{0{,}1321}{0{,}84937}\approx 0{,}15553,\quad y_{6}=0{,}72\cdot 0{,}15553\approx 0{,}11198.
Para i=7:
1+\Psi(K_{7}-1)\approx 0{,}61266,\quad x_{7}=\frac{0{,}3151}{0{,}61266}\approx 0{,}51466,\quad y_{7}=0{,}28\cdot 0{,}51466\approx 0{,}14410.
Verificação rápida: \sum_{i} x_{i}\approx 1{,}0004 e \sum_{i} y_{i}\approx 1{,}0003 (diferenças pequenas por arredondamento), o que confirma consistência numérica.

Resposta

\Psi\approx 0{,}53798
x_{1}=0{,}0008608,\; x_{2}=0{,}04055,\; x_{3}=0{,}04563,\; x_{4}=0{,}18127,\; x_{5}=0{,}06190,\; x_{6}=0{,}15553,\; x_{7}=0{,}51466
y_{1}=0{,}01395,\; y_{2}=0{,}21086,\; y_{3}=0{,}11864,\; y_{4}=0{,}34441,\; y_{5}=0{,}05633,\; y_{6}=0{,}11198,\; y_{7}=0{,}14410

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