Deseja-se construir uma peça de zinco que tem a forma da superfície do cilindro x^2+y^2=4, compreendida entre os planos z=0 e x+y+z=2, com z >= 0. Se o metro quadrado do zinco custa M reais, calcule o preço total da peça. Faça um esboço da peça.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que construir uma peça de zinco que forma a superfície de um cilindro dado por x^2 + y^2 = 4. Essa peça está limitada entre os planos z = 0 e x + y + z = 2, com z >= 0. A matéria aqui é cálculo, especificamente geometria espacial e integrais de superfícies. Vamos precisar calcular a área dessa superfície para depois multiplicar pelo custo por metro quadrado, que é M reais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma da peça. O cilindro dado por x^2 + y^2 = 4 tem raio 2 e é infinito ao longo do eixo z. Mas nossa peça está limitada entre z = 0 (a base) e o plano x + y + z = 2, então não é um cilindro infinito, mas sim uma parte dele.

Passo 3

Para calcular a área dessa superfície, vamos parametrizar o cilindro. A parametrização mais comum para um cilindro circular é usando coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
x = 2costheta y = 2sintheta z = z
Onde theta varia de 0 a 2pi para cobrir toda a circunferência, e z varia de 0 até onde o plano corta o cilindro.

Passo 4

Vamos encontrar os limites de z. O plano x + y + z = 2 pode ser rearranjado para z = 2 - x - y. Substituindo x e y pela parametrização:
z = 2 - 2costheta - 2sintheta
Então, z varia de 0 até 2 - 2costheta - 2sintheta.

Passo 5

Agora, a área de uma superfície parametrizada r(theta, z) é dada pela integral dupla:
Área = integral integral | rtheta times rz | , dtheta , dz Á
Vamos calcular as derivadas parciais rtheta e rz:
rtheta = (-2sintheta, 2costheta, 0) rz = (0, 0, 1)
O produto vetorial rtheta times rz é:
rtheta times rz = (2costheta, 2sintheta, 0)
E a magnitude desse vetor é:
| rtheta times rz | = raiz(2costheta)^2 + (2sintheta)^2 = 2

Passo 6

Com isso, a integral para a área fica:
Área = integral0^2pi integral0^2 - 2costheta - 2sintheta 2 , dz , dtheta Á
Integrando em relação a z:
Área = integral0^2pi 2 (2 - 2costheta - 2sintheta) dtheta = 4 integral0^2pi (1 - costheta - sintheta) dtheta Á

Passo 7

Vamos calcular a integral:
integral0^2pi (1 - costheta - sintheta) dtheta = [ theta - sintheta + costheta ]0^2pi = (2pi - 0 + 1) - (0 - 0 + 1) = 2pi
Então,
Área = 4 times 2pi = 8pi Á

Passo 8

Finalmente, para encontrar o custo total da peça, multiplicamos a área pelo preço por metro quadrado:
Custo Total = 8pi times M , reais

Resposta

O preço total da peça é 8pi M reais.

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