Deseja-se construir uma peça de zinco que tem a forma da superfície do cilindro
, compreendida entre os planos
e
, com
. Se o metro quadrado do zinco custa
reais, calcule o preço total da peça. Faça um esboço da peça.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que construir uma peça de zinco que forma a superfície de um cilindro dado por
. Essa peça está limitada entre os planos
e
, com
. A matéria aqui é cálculo, especificamente geometria espacial e integrais de superfícies. Vamos precisar calcular a área dessa superfície para depois multiplicar pelo custo por metro quadrado, que é
reais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma da peça. O cilindro dado por
tem raio 2 e é infinito ao longo do eixo
. Mas nossa peça está limitada entre
(a base) e o plano
, então não é um cilindro infinito, mas sim uma parte dele.
Passo 3
Para calcular a área dessa superfície, vamos parametrizar o cilindro. A parametrização mais comum para um cilindro circular é usando coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
Onde
varia de
a
para cobrir toda a circunferência, e
varia de
até onde o plano corta o cilindro.
Passo 4
Vamos encontrar os limites de
. O plano
pode ser rearranjado para
. Substituindo
e
pela parametrização:
Então,
varia de
até
.
Passo 5
Agora, a área de uma superfície parametrizada
é dada pela integral dupla:
Vamos calcular as derivadas parciais
e
:
O produto vetorial
é:
E a magnitude desse vetor é:
Passo 6
Com isso, a integral para a área fica:
Integrando em relação a
:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Então,
Passo 8
Finalmente, para encontrar o custo total da peça, multiplicamos a área pelo preço por metro quadrado:
Resposta
O preço total da peça é
reais.