Determine a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial de Cauchy-Euler:
t^2 y^prime prime+t y^prime-y=0
Escolha uma opção:
ct

Passo 1

Vamos aplicar o que a gente aprendeu sobre equações de Cauchy–Euler e Wronskiano para achar a forma de dois soluções dessa eq.: t²y’’+t y’−y=0. O conteúdo aqui envolve reconhecer a equação de Euler, resolver para raízes do tipo y=tʳ, e usar a definição de Wronskiano ou a identidade de Abel.

Passo 2

Para resolver a equação de Euler, a gente testa y=tʳ. Então y’=r t^{r−1} e y’’=r(r−1)t^{r−2}. Substituindo em t²y’’+t y’−y=0 dá:
t²·r(r−1)t^r−2+t·r t^r−1−t^r=r(r−1)t^r+r t^r−t^r=(r²−1)t^r=0²²

Passo 3

Isso gera a equação característica r²−1=0, cujas raízes são r=1 e r=−1. Logo duas soluções independentes são y₁=t e y₂=t^{−1}. Agora usamos a definição de Wronskiano:
W(y₁,y₂)(t)=y₁&y₂y₁'&y₂'=t&t^−11&−t^−2=t·(−t^−2)−t^−1·1=−t^−1−t^−1=−2t^−1

Passo 4

Podemos escrever esse resultado na forma geral W=c/t, onde c é uma constante não nula (aqui c=−2).

Resposta

ct

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