Determine a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial de Cauchy-Euler:
Escolha uma opção:
Passo 1
Vamos aplicar o que a gente aprendeu sobre equações de Cauchy–Euler e Wronskiano para achar a forma de dois soluções dessa eq.: t²y’’+t y’−y=0. O conteúdo aqui envolve reconhecer a equação de Euler, resolver para raízes do tipo y=tʳ, e usar a definição de Wronskiano ou a identidade de Abel.
Passo 2
Para resolver a equação de Euler, a gente testa y=tʳ. Então y’=r t^{r−1} e y’’=r(r−1)t^{r−2}. Substituindo em t²y’’+t y’−y=0 dá:
Passo 3
Isso gera a equação característica r²−1=0, cujas raízes são r=1 e r=−1. Logo duas soluções independentes são y₁=t e y₂=t^{−1}. Agora usamos a definição de Wronskiano:
Passo 4
Podemos escrever esse resultado na forma geral W=c/t, onde c é uma constante não nula (aqui c=−2).