Deseja-se construir uma piscina na forma de um paralelepípedo reto com base quadrada com volume de 20 m^3
- Se o lado da base mede x metros e a altura mede y metros, o custo do material é 6 vezes a área da piscina (área lateral mais a área da base). O custo da escavação é
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Escreva y em função de x e escreva o custo total apenas em função de x .
Escreva y em função de x e escreva o custo total apenas em função de x .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente quer construir uma piscina que tem a forma de um paralelepípedo reto, ou seja, um “caixão” com todas as arestas perpendiculares. A base dessa piscina é quadrada, com lado medindo $ x $ metros, e a altura é $ y $ metros. O volume da piscina precisa ser de 20 metros cúbicos. Além disso, temos que calcular o custo total da construção, que envolve o custo do material e o custo da escavação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de volume de paralelepípedo, área de superfícies e montar funções matemáticas para relacionar $ y $ com $ x $ e calcular o custo total em função de $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a relação entre $ y $ e $ x $ usando o volume da piscina. O volume ($ V $) de um paralelepípedo é dado pela fórmula:
Como a base é quadrada, a área da base é $ x^2 $. Sabendo que $ V = 20 , m^3 $, temos:
Agora, vamos resolver essa equação para $ y $ em função de $ x $:
Passo 3
Agora que temos $ y $ em função de $ x $, vamos calcular o custo do material. O custo do material é 6 vezes a área total da piscina, que inclui a área lateral mais a área da base. Primeiro, vamos encontrar a área lateral.
A área lateral de um paralelepípedo com base quadrada é calculada pela fórmula:
O perímetro da base quadrada é $ 4x $, então:
A área da base já sabemos que é $ x^2 $. Portanto, a área total é:
O custo do material é 6 vezes essa área:
Passo 4
Agora vamos calcular o custo da escavação. A questão diz que o custo da escavação é $ 9xy $. Então:
Passo 5
Para encontrar o custo total, vamos somar o custo do material e o custo da escavação:
Agora, vamos substituir $ y $ pela expressão que encontramos no Passo 2, que é $ y = \frac{20}{x^2} $:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, multiplica dentro dos parênteses:
Distribuindo o 6:
Agora, somamos os termos semelhantes:
Então, o custo total em função de $ x $ é:
Resposta
A altura $ y $ em função de $ x $ é $ y = \frac{20}{x^2} $ e o custo total em função de $ x $ é $ C(x) = 6x^2 + \frac{660}{x} $.