Deseja-se construir uma piscina retangular com 900 m^2 de área. Quais as dimensões para que o perímetro seja mínimo?

Passo 1

Resumo da questão: queremos construir uma piscina retangular de área fixa de 900 m^2 e escolher suas dimensões (comprimento L e largura W) de modo que o perímetro P seja mínimo. Vamos usar otimização de função sob restrição, via cálculo de derivadas.

Passo 2

Modelagem e expressão do perímetro: como a área é fixa, temos L W = 900. Isolando W, fica W = 900L. O perímetro é dado por P = 2(L + W), logo
P(L) = 2l(L + 900Lr)

Passo 3

Encontrando o mínimo: para achar o valor de L que minimiza P(L), calculamos a derivada
P'(L) = 2l(1 - 900L^2r)

Passo 4

Igualando P'(L)=0 resulta em
1 - 900L^2 = 0 Longrightarrow L^2 = 900 Longrightarrow L = 30 m, já que L>0. Para confirmar mínimo, notamos que
P''(L) = 2cdot1800L^3 > 0 (forall L>0), o que garante que é um ponto de mínimo.

Passo 5

Cálculo de W e conclusão: substituindo L = 30 em W = 900L obtemos W = 30 m Portanto, a piscina é um quadrado de lado 30 m, que de fato minimiza o perímetro.

Resposta

As dimensões que minimizam o perímetro são 30 m por 30 m.

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