Deseja-se construir uma piscina retangular com
de área. Quais as dimensões para que o perímetro seja mínimo?
Passo 1
Resumo da questão: queremos construir uma piscina retangular de área fixa de
e escolher suas dimensões (comprimento
e largura
) de modo que o perímetro
seja mínimo. Vamos usar otimização de função sob restrição, via cálculo de derivadas.
Passo 2
Modelagem e expressão do perímetro: como a área é fixa, temos
. Isolando
, fica
. O perímetro é dado por
, logo
Passo 3
Encontrando o mínimo: para achar o valor de
que minimiza
, calculamos a derivada
Passo 4
Igualando
resulta em
Passo 5
Cálculo de
e conclusão: substituindo
em
obtemos
Portanto, a piscina é um quadrado de lado
, que de fato minimiza o perímetro.
Resposta
As dimensões que minimizam o perímetro são 30 m por 30 m.