Nos itens abaixo, encontre equações para: (1) o plano tangente e (2) a reta normal no P0 na superfície determinada.
x^2+y^2-2 x y+3 y-z=-4, P0(2,-3,18)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma superfície definida pela equação e um ponto nessa superfície. Nosso objetivo é encontrar duas coisas:
  1. A equação do plano tangente à superfície nesse ponto.
  2. A equação da reta normal à superfície nesse ponto.
Para isso, vamos usar um pouco de cálculo diferencial, mais especificamente a ideia de derivadas parciais para encontrar a normal à superfície. Vamos em frente!

Passo 2

Primeiro, para achar o plano tangente, a gente precisa da vetor normal à superfície no ponto F(x, y, z) = x^2 + y^2 - 2xy + 3y - z + 4 = 0 . A maneira de achar esse vetor é calculando as derivadas parciais da função que define a superfície em relação a cada variável.
Vamos reescrever a equação da superfície como uma função Fx = partial Fpartial x = 2x - 2y :
Fy = partial Fpartial y = 2y - 2x + 3
As derivadas parciais serão:
Fz = partial Fpartial z = -1

Passo 3

Agora, vamos calcular essas derivadas no ponto Fx(2, -3, 18) = 2(2) - 2(-3) = 4 + 6 = 10 :
Fy(2, -3, 18) = 2(-3) - 2(2) + 3 = -6 - 4 + 3 = -7
Fz(2, -3, 18) = -1
n = (10, -7, -1)
Então, o vetor normal à superfície no ponto é:

Passo 4

Com o vetor normal em mãos, podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente é:
Fx(x0, y0, z0)(x - x0) + Fy(x0, y0, z0)(y - y0) + Fz(x0, y0, z0)(z - z0) = 0
Substituindo os valores que temos:
10(x - 2) - 7(y + 3) - 1(z - 18) = 0
Vamos simplificar essa equação:
10x - 20 - 7y - 21 - z + 18 = 0
10x - 7y - z - 23 = 0

Passo 5

Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal passa pelo ponto x = x0 + at e segue na direção do vetor normal y = y0 + bt .
A equação paramétrica de uma reta é dada por:
z = z0 + ct
Onde é o vetor diretor da reta e é o parâmetro.

Passo 6

Substituindo os valores:
x = 2 + 10t
y = -3 - 7t
z = 18 - t

Resposta

  1. Equação do plano tangente:
10x - 7y - z - 23 = 0
  1. Equação da reta normal:
x = 2 + 10t y = -3 - 7t z = 18 - t

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