Nos itens abaixo, encontre equações para: (1) o plano tangente e (2) a reta normal no
na superfície determinada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma superfície definida pela equação
e um ponto
nessa superfície. Nosso objetivo é encontrar duas coisas:
- A equação do plano tangente à superfície nesse ponto.
- A equação da reta normal à superfície nesse ponto.
Para isso, vamos usar um pouco de cálculo diferencial, mais especificamente a ideia de derivadas parciais para encontrar a normal à superfície. Vamos em frente!
Passo 2
Primeiro, para achar o plano tangente, a gente precisa da vetor normal à superfície no ponto
. A maneira de achar esse vetor é calculando as derivadas parciais da função que define a superfície em relação a cada variável.
Vamos reescrever a equação da superfície como uma função
:
As derivadas parciais serão:
Passo 3
Agora, vamos calcular essas derivadas no ponto
:
Então, o vetor normal
à superfície no ponto
é:
Passo 4
Com o vetor normal em mãos, podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente é:
Substituindo os valores que temos:
Vamos simplificar essa equação:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal passa pelo ponto
e segue na direção do vetor normal
.
A equação paramétrica de uma reta é dada por:
Onde
é o vetor diretor da reta e
é o parâmetro.
Passo 6
Substituindo os valores:
Resposta
- Equação do plano tangente:
- Equação da reta normal: