Estudar, no que se refere a máximos e mínimos, as seguintes funções:
  1. y=4 x+5
  2. y=10 x+5 com 1 <= x <= 10
  3. y=-5 x+4 com -1
  4. y=3 x+4 com 0
  5. y=x^2+1
  6. y=-x^2+9
  7. y=x^2-3 x+2
  8. y=-x^2+5 x-6
  9. y=x^2-5 x+6 com 0 <= x <= 3
  10. y=x^33-152 x^2+50 x+5
    1i) y=x^3-1
  11. y=x^4-x^33+10
  12. y=x^4-10
  13. y=2x^4+1
  14. y=1x^2, x neq 0
  15. y=x1+x^2
  16. y=x^2x-1, x neq 1
  17. y=1x com 0
  18. y=raizx, x >= 0
  19. y=raizx^2+4
  20. y=raizx^2-10 x
  21. y=e^-x
  22. y=e^-2 x, 0 <= x <= 4

Passo 1

O enunciado pede para estudar os máximos e mínimos (globais e locais) de uma lista de funções, algumas sem restrição de domínio e outras com intervalos, usando derivadas e testes de concavidade.

Passo 2

Método geral: para cada função f(x) (i) calcurar f’(x), (ii) encontrar pontos críticos onde f’(x)=0 ou f’(x) não existe, (iii) classificar cada ponto crítico via f’’(x) (se f’’>0 é mínimo local, se f’’<0 é máximo local, se f’’=0 testar derivadas superiores ou monotonicidade), (iv) quando houver intervalo fechado, avaliar também f nos extremos do intervalo para identificar máximos/minimos globais; em intervalos abertos ou sem limite, falar em ínfimos/supremos quando não houver extremos atingidos.

Passo 3

Estudo das funções lineares (itens 1–4): para f(x)=ax+b temos f’(x)=a constante. Se o domínio é \mathbb{R} não há extremos (f é monotônica). Se o domínio é [c,d] ou (c,d), f é monotônica e o mínimo/infimom vem em c, o máximo/supremum vem em d, trocando conforme o sinal de a.

Passo 4

Aplicação aos itens 1–4: 1) f(x)=4x+5, dom=\mathbb{R}, sem extremos. 2) f(x)=10x+5, dom=[1,10], crescente → mínimo em x=1, f(1)=15; máximo em x=10, f(10)=105. 3) f(x)=-5x+4, dom=(-1,2], decrescente → mínimo em x=2, f(2)=-6; supremum não atingido em x\to-1^+, sup=9. 4) f(x)=3x+4, dom=(0,10), crescente → infimum em x\to0^+, inf=4; supremum em x\to10^-, sup=34.

Passo 5

Funções quadráticas (itens 5–9): para f(x)=ax^2+bx+c, f’(x)=2ax+b=0→x_v=-b/(2a); concavidade vem de f’’(x)=2a. Se a>0 temos mínimo local (e global sem restrição); se a<0 temos máximo local. Em intervalo fechado avaliar extremos.

Passo 6

Aplicação 5–9: 5) f(x)=x^2+1, x_v=0, f’’=2>0 → mínimo em (0,1). 6) f(x)=-x^2+9, x_v=0, f’’=-2<0 → máximo em (0,9). 7) f(x)=x^2-3x+2, x_v=3/2, f(3/2)=-1/4, mínimo local. 8) f(x)=-x^2+5x-6, x_v=5/2, f(5/2)=1/4, máximo local. 9) f(x)=x^2-5x+6, dom=[0,3], x_v=2.5, f(2.5)=-0.25 (mín global), f(0)=6, f(3)=0 (máx global em 0).

Passo 7

Polinômios de grau 3 e 4 (itens 10, 1i, 11, 12): aplicar f’(x)=0 e classificar.

Passo 8

  1. f(x)=x^3/3 - (15/2)x^2 +50x+5, f’(x)=x^2-15x+50=0 → x=5 (f’’<0, máximo local f(5)=655/6) e x=10 (f’’>0, mínimo local f(10)=265/3).
    1i) f(x)=x^3-1, f’(x)=3x^2=0→x=0; ponto de inflexão, sem extremos.
  2. f(x)=x^4 - x^3/3 +10, f’(x)=x^2(4x-1)=0→x=0 (inflexão) e x=1/4 (f’’>0, mínimo local f(1/4)=7679/768).
  3. f(x)=x^4-10, f’(x)=4x^3=0→x=0; mínimo global f(0)=-10.

Passo 9

Funções racionais (itens 13–17): derivar, achar zeros de f’, estudar monotonicidade e extremos nos intervalos válidos.

Passo 10

  1. f(x)=2/(x^4+1), f’(x)=-8x3/(x4+1)^2=0→x=0, f’’<0 nos arredores → máximo global f(0)=2; inf=0 em x→±∞.
  2. f(x)=1/x^2, f’(x)=-2/x^3≠0, monotônica decresce em x>0 e cresce em x<0; não há extremos, infimum=0, supremum=+∞.
  3. f(x)=x/(1+x^2), f’(x)=(1-x2)/(1+x2)^2=0→x=±1, máximo em x=1 f=1/2, mínimo em x=-1 f=-1/2.
  4. f(x)=x^2/(x-1), f’(x)=x(x-2)/(x-1)^2=0→x=0 (sem mudança de sinal) e x=2 (mínimo local f(2)=4), sem máximo global.
  5. f(x)=1/x, dom=(0,4], f’<0, monótona decrescente; supremo não atingido em 0 (sup=+∞), mínimo em x=4 f(4)=1/4.

Passo 11

Funções com raiz (itens 18–20): f’(x) e monotonias.

Passo 12

  1. f(x)=√x, x≥0, f’>0, monótona crescente; mínimo f(0)=0, sem máximo.
  2. f(x)=√(x^2+4), f’(x)=x/√(x^2+4)=0→x=0, mínimo f(0)=2, sem máximo.
  3. f(x)=√(x^2-10x), dom x≤0 ou x≥10, f’= (2x-10)/(2√(…)), sem crítico em domínio; em x=0 e x=10 f=0 (mínimos globais), sem máximo.

Passo 13

Funções exponenciais (itens 21–22): derivadas e extremos.

Passo 14

  1. f(x)=e^{-x}, f’<0, decrescente em ℝ; sem extremos, inf→0, sup→+∞.
  2. f(x)=e^{-2x}, dom=[0,4], f’<0, decrescente; máximo em x=0 f=1, mínimo em x=4 f=e^{-8}.

Resposta

  1. sem extremos.
  2. mínimo (1,15), máximo (10,105).
  3. mínimo em (2,-6), supremo=9 não atingido.
  4. inf=4, sup=34, não atingidos.
  5. mínimo em (0,1).
  6. máximo em (0,9).
  7. mínimo local em (3/2,-1/4).
  8. máximo local em (5/2,1/4).
  9. mínimo global em (2.5,-0.25), máximo global em (0,6).
  10. máximo local em (5,655/6), mínimo local em (10,265/3).
    1i) sem extremos (ponto de inflexão em x=0).
  11. mínimo local em (1/4,7679/768).
  12. mínimo global em (0,-10).
  13. máximo global em (0,2), infimum=0.
  14. sem extremos, infimum=0, supremum=+∞.
  15. mínimo em (-1,-1/2), máximo em (1,1/2).
  16. mínimo local em (2,4).
  17. mínimo em (4,1/4), supremo=+∞.
  18. mínimo em (0,0).
  19. mínimo em (0,2).
  20. mínimos globais em (0,0) e (10,0).
  21. sem extremos, inf→0, sup→+∞.
  22. máximo em (0,1), mínimo em (4,e^{-8}).

Exercícios relacionados