Estudar, no que se refere a máximos e mínimos, as seguintes funções:
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1i)
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1i)
Passo 1
O enunciado pede para estudar os máximos e mínimos (globais e locais) de uma lista de funções, algumas sem restrição de domínio e outras com intervalos, usando derivadas e testes de concavidade.
Passo 2
Método geral: para cada função f(x) (i) calcurar f’(x), (ii) encontrar pontos críticos onde f’(x)=0 ou f’(x) não existe, (iii) classificar cada ponto crítico via f’’(x) (se f’’>0 é mínimo local, se f’’<0 é máximo local, se f’’=0 testar derivadas superiores ou monotonicidade), (iv) quando houver intervalo fechado, avaliar também f nos extremos do intervalo para identificar máximos/minimos globais; em intervalos abertos ou sem limite, falar em ínfimos/supremos quando não houver extremos atingidos.
Passo 3
Estudo das funções lineares (itens 1–4): para f(x)=ax+b temos f’(x)=a constante. Se o domínio é \mathbb{R} não há extremos (f é monotônica). Se o domínio é [c,d] ou (c,d), f é monotônica e o mínimo/infimom vem em c, o máximo/supremum vem em d, trocando conforme o sinal de a.
Passo 4
Aplicação aos itens 1–4: 1) f(x)=4x+5, dom=\mathbb{R}, sem extremos. 2) f(x)=10x+5, dom=[1,10], crescente → mínimo em x=1, f(1)=15; máximo em x=10, f(10)=105. 3) f(x)=-5x+4, dom=(-1,2], decrescente → mínimo em x=2, f(2)=-6; supremum não atingido em x\to-1^+, sup=9. 4) f(x)=3x+4, dom=(0,10), crescente → infimum em x\to0^+, inf=4; supremum em x\to10^-, sup=34.
Passo 5
Funções quadráticas (itens 5–9): para f(x)=ax^2+bx+c, f’(x)=2ax+b=0→x_v=-b/(2a); concavidade vem de f’’(x)=2a. Se a>0 temos mínimo local (e global sem restrição); se a<0 temos máximo local. Em intervalo fechado avaliar extremos.
Passo 6
Aplicação 5–9: 5) f(x)=x^2+1, x_v=0, f’’=2>0 → mínimo em (0,1). 6) f(x)=-x^2+9, x_v=0, f’’=-2<0 → máximo em (0,9). 7) f(x)=x^2-3x+2, x_v=3/2, f(3/2)=-1/4, mínimo local. 8) f(x)=-x^2+5x-6, x_v=5/2, f(5/2)=1/4, máximo local. 9) f(x)=x^2-5x+6, dom=[0,3], x_v=2.5, f(2.5)=-0.25 (mín global), f(0)=6, f(3)=0 (máx global em 0).
Passo 7
Polinômios de grau 3 e 4 (itens 10, 1i, 11, 12): aplicar f’(x)=0 e classificar.
Passo 8
- f(x)=x^3/3 - (15/2)x^2 +50x+5, f’(x)=x^2-15x+50=0 → x=5 (f’’<0, máximo local f(5)=655/6) e x=10 (f’’>0, mínimo local f(10)=265/3).
1i) f(x)=x^3-1, f’(x)=3x^2=0→x=0; ponto de inflexão, sem extremos. - f(x)=x^4 - x^3/3 +10, f’(x)=x^2(4x-1)=0→x=0 (inflexão) e x=1/4 (f’’>0, mínimo local f(1/4)=7679/768).
- f(x)=x^4-10, f’(x)=4x^3=0→x=0; mínimo global f(0)=-10.
Passo 9
Funções racionais (itens 13–17): derivar, achar zeros de f’, estudar monotonicidade e extremos nos intervalos válidos.
Passo 10
- f(x)=2/(x^4+1), f’(x)=-8x3/(x4+1)^2=0→x=0, f’’<0 nos arredores → máximo global f(0)=2; inf=0 em x→±∞.
- f(x)=1/x^2, f’(x)=-2/x^3≠0, monotônica decresce em x>0 e cresce em x<0; não há extremos, infimum=0, supremum=+∞.
- f(x)=x/(1+x^2), f’(x)=(1-x2)/(1+x2)^2=0→x=±1, máximo em x=1 f=1/2, mínimo em x=-1 f=-1/2.
- f(x)=x^2/(x-1), f’(x)=x(x-2)/(x-1)^2=0→x=0 (sem mudança de sinal) e x=2 (mínimo local f(2)=4), sem máximo global.
- f(x)=1/x, dom=(0,4], f’<0, monótona decrescente; supremo não atingido em 0 (sup=+∞), mínimo em x=4 f(4)=1/4.
Passo 11
Funções com raiz (itens 18–20): f’(x) e monotonias.
Passo 12
- f(x)=√x, x≥0, f’>0, monótona crescente; mínimo f(0)=0, sem máximo.
- f(x)=√(x^2+4), f’(x)=x/√(x^2+4)=0→x=0, mínimo f(0)=2, sem máximo.
- f(x)=√(x^2-10x), dom x≤0 ou x≥10, f’= (2x-10)/(2√(…)), sem crítico em domínio; em x=0 e x=10 f=0 (mínimos globais), sem máximo.
Passo 13
Funções exponenciais (itens 21–22): derivadas e extremos.
Passo 14
- f(x)=e^{-x}, f’<0, decrescente em ℝ; sem extremos, inf→0, sup→+∞.
- f(x)=e^{-2x}, dom=[0,4], f’<0, decrescente; máximo em x=0 f=1, mínimo em x=4 f=e^{-8}.
Resposta
- sem extremos.
- mínimo (1,15), máximo (10,105).
- mínimo em (2,-6), supremo=9 não atingido.
- inf=4, sup=34, não atingidos.
- mínimo em (0,1).
- máximo em (0,9).
- mínimo local em (3/2,-1/4).
- máximo local em (5/2,1/4).
- mínimo global em (2.5,-0.25), máximo global em (0,6).
- máximo local em (5,655/6), mínimo local em (10,265/3).
1i) sem extremos (ponto de inflexão em x=0). - mínimo local em (1/4,7679/768).
- mínimo global em (0,-10).
- máximo global em (0,2), infimum=0.
- sem extremos, infimum=0, supremum=+∞.
- mínimo em (-1,-1/2), máximo em (1,1/2).
- mínimo local em (2,4).
- mínimo em (4,1/4), supremo=+∞.
- mínimo em (0,0).
- mínimo em (0,2).
- mínimos globais em (0,0) e (10,0).
- sem extremos, inf→0, sup→+∞.
- máximo em (0,1), mínimo em (4,e^{-8}).