Questão 4. Resolva os seguintes problemas de valor inicial e determine o comportamento da solução quando
:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
com as condições
e
. O conteúdo aqui é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e precisamos usar a equação característica e depois analisar o comportamento da solução quando
.
Passo 2
Começamos montando a equação característica associada à EDO. Substituindo
em
, obtemos:
Logo,
A solução geral é
e sua derivada
Passo 3
Agora aplicamos as condições iniciais em
:
-
dá
-
dá
Resolvendo o sistema
somamos as equações para achar
e, subtraindo,
. Isso leva a
Passo 4
Substituindo
e
na solução geral, obtemos
Passo 5
Para analisar o comportamento quando
, notamos que o termo
domina. Como seu coeficiente é
, temos
Resposta
A solução do problema é
e ela diverge para
$ -\infty $
quando .
$ -\infty $
quando