Questão 4. Resolva os seguintes problemas de valor inicial e determine o comportamento da solução quando t infty:
l4 y^prime prime-y=0 y(-2)=1 ; y prime(-2)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial 4y''-y=0 com as condições y(-2)=1 e y'(-2)=-1. O conteúdo aqui é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e precisamos usar a equação característica e depois analisar o comportamento da solução quando ttoinfty.

Passo 2

Começamos montando a equação característica associada à EDO. Substituindo y(t)=e^rt em 4y''-y=0, obtemos:
4r^2-1=0
Logo,
r^2=tfrac14Rightarrow r=pmtfrac12
A solução geral é
y(t)=C1e^t/2+C2e^-t/2,
e sua derivada
y'(t)=tfrac12C1e^t/2-tfrac12C2e^-t/2

Passo 3

Agora aplicamos as condições iniciais em t=-2:
  1. y(-2)=1
C1e^-1+C2e^1=1
  1. y'(-2)=-1
tfrac12l(C1e^-1-C2e^1r)=-1Rightarrow C1e^-1-C2e^1=-2
Resolvendo o sistema
C1e^-1+C2e^1=1, C1e^-1-C2e^1=-2,
somamos as equações para achar C1e^-1=-tfrac12 e, subtraindo, C2e^1=tfrac32. Isso leva a
C1=-tfrace2, C2=tfrac32e

Passo 4

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos
y(t)=-tfrace2e^t/2+tfrac32ee^-t/2

Passo 5

Para analisar o comportamento quando ttoinfty, notamos que o termo e^t/2 domina. Como seu coeficiente é -tfrac e2<0, temos
y(t)sim -tfrac e2e^t/2to -inftyquando ttoinfty

Resposta

A solução do problema é
y(t)=-e2e^t/2+32ee^-t/2,
e ela diverge para
$ -\infty $
quando -infty .

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