7- Deseja-se construir uma resistência elétrica de 1,0 \Omega com um fio de constantan de 1,0 \mathrm{~mm} de diâmetro. A resistividade do material é 4,8 \cdot 10^{-2} \Omega \cdot \mathrm{~m} e \pi pode ser adotado 3,1 . Qual será o comprimento necessário do fio de constantan, em metros. (0,5)

Passo 1

O enunciado pede que se construa uma resistência elétrica de 1,0\\ \Omega usando um fio de constantan com diâmetro 1,0\\ \mathrm{mm}. As informações fornecidas são:
R=1,0\\ \Omega,
\text{diâmetro } d=1,0\\ \mathrm{mm},â
\text{resistividade } \rho=4,8\cdot10^{-2}\\ \Omega\cdot\mathrm{m},
e \pi pode ser adotado como 3,1. A pergunta é: qual o comprimento L do fio (em metros) necessário para obter essa resistência?

Passo 2

Vamos usar a relação básica entre resistência, resistividade, comprimento e área da seção transversal:
R=\rho\frac{L}{A}.
Explicando cada símbolo:
  • R é a resistência elétrica desejada (em \Omega).
  • \rho é a resistividade do material (em \Omega\cdot\mathrm{m}); é uma propriedade do material que indica quão resistente ele é à passagem de corrente.
  • L é o comprimento do fio (em \mathrm{m}), que queremos encontrar.
  • A é a área da seção transversal do fio (em \mathrm{m}^2), perpendicular ao comprimento.
Isolando L da fórmula:
L=\frac{R\,A}{\rho}.
Então precisamos calcular a área A do fio a partir do diâmetro.

Passo 3

A área da seção circular é
A=\pi r^2,
onde r é o raio do fio e r=\dfrac{d}{2}. Primeiro convertemos o diâmetro para metros:
d=1,0\\ \mathrm{mm}=1,0\cdot10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Logo o raio é
r=\frac{d}{2}=0,5\cdot10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Agora calculamos r^2:
r^2=(0,5\cdot10^{-3})^2=0,25\cdot10^{-6}=2,5\cdot10^{-7}\\ \mathrm{m}^2.
Usando \pi=3,1,
A=\pi r^2=3,1\cdot2,5\cdot10^{-7}=7,75\cdot10^{-7}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Substituímos A, R e \rho na expressão de L:
L=\frac{R\,A}{\rho}=\frac{1,0\cdot7,75\cdot10^{-7}}{4,8\cdot10^{-2}}=\frac{7,75\cdot10^{-7}}{4,8\cdot10^{-2}}.
Agora dividimos coeficientes e tratamos os expoentes de 10:
\frac{7,75}{4,8}\approx1,6145833\quad\text{e}\quad\frac{10^{-7}}{10^{-2}}=10^{-5}.
Portanto
L\approx1,6145833\cdot10^{-5}\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma razoável (três algarismos significativos),
L\approx1,61\cdot10^{-5}\\ \mathrm{m}.
Para ter uma intuição: isso corresponde a cerca de 16,1\\ \mu\mathrm{m} (micrômetros), ou seja, um fio extremamente curto — isso ocorre porque a resistividade dada é relativamente alta, fazendo a resistência por unidade de comprimento ser muito grande.

Resposta

\;1,61\cdot10^{-5}\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados