Deseja-se construir um vasilhame cilíndrico de metal, sem tampa e com com capacidade
(
), a partir de uma chapa retangular de onde serão recortados um círculo, para fazer o fundo, e uma faixa retangular, para fazer a lateral. Determine as medidas do vasilhame que minimizem a área da chapa retangular utilizada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer construir um vasilhame cilíndrico sem tampa, com capacidade de 1 litro, ou seja, 1000 cm³. O objetivo é descobrir as medidas desse cilindro que usem o mínimo de material possível. Para isso, vamos precisar de conhecimentos em geometria, especialmente sobre volumes e áreas de cilindros, além de usar um pouquinho de cálculo para otimizar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume e a área de um cilindro. O volume
de um cilindro é dado por:
onde
é o raio da base e
é a altura.
A área total da chapa utilizada será a soma da área do fundo circular e da área da lateral. A área do fundo é:
E a área da lateral, que é como se fosse um retângulo enrolado, é:
Então, a área total
da chapa é:
Passo 3
Como a capacidade do vasilhame é de 1000 cm³, podemos usar a fórmula do volume para relacionar
e
:
Vamos isolar
:
Passo 4
Agora, substituímos
na fórmula da área total para deixar a área em função de
somente:
Passo 5
Para encontrar o valor de
que minimiza a área
, vamos derivar a função em relação a
e igualar a derivada a zero:
Passo 6
Resolvendo a equação para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Isolando
:
Então:
Calculando:
Passo 7
Agora que encontramos
, vamos encontrar
usando a expressão que derivamos:
Resposta
As medidas que minimizam a área da chapa são aproximadamente raio
cm e altura
cm.