Deseja-se construir um vasilhame cilíndrico de metal, sem tampa e com com capacidade 1 ell ( 1000 cm^3 ), a partir de uma chapa retangular de onde serão recortados um círculo, para fazer o fundo, e uma faixa retangular, para fazer a lateral. Determine as medidas do vasilhame que minimizem a área da chapa retangular utilizada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer construir um vasilhame cilíndrico sem tampa, com capacidade de 1 litro, ou seja, 1000 cm³. O objetivo é descobrir as medidas desse cilindro que usem o mínimo de material possível. Para isso, vamos precisar de conhecimentos em geometria, especialmente sobre volumes e áreas de cilindros, além de usar um pouquinho de cálculo para otimizar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume e a área de um cilindro. O volume V = pi r^2 h de um cilindro é dado por:
Afundo = pi r^2
onde Alateral = 2pi r h é o raio da base e A = pi r^2 + 2pi r h é a altura.
A área total da chapa utilizada será a soma da área do fundo circular e da área da lateral. A área do fundo é:
E a área da lateral, que é como se fosse um retângulo enrolado, é:
Então, a área total da chapa é:

Passo 3

Como a capacidade do vasilhame é de 1000 cm³, podemos usar a fórmula do volume para relacionar pi r^2 h = 1000 e h = 1000pi r^2 :
Vamos isolar :

Passo 4

Agora, substituímos A(r) = pi r^2 + 2pi r ( 1000pi r^2 ) = pi r^2 + 2000r na fórmula da área total para deixar a área em função de somente:

Passo 5

Para encontrar o valor de A'(r) = 2pi r - 2000r^2 que minimiza a área 2pi r - 2000r^2 = 0 , vamos derivar a função em relação a e igualar a derivada a zero:

Passo 6

Resolvendo a equação para 2pi r = 2000r^2 :
2pi r^3 = 2000
Multiplicando ambos os lados por r^3 = 20002pi = 1000pi :
r = ( 1000pi )^1/3
Isolando r approx ( 10003,1416 )^1/3 approx (318,31)^1/3 approx 6,80 cm :
Então:
Calculando:

Passo 7

Agora que encontramos h = 1000pi r^2 = 1000pi (6,80)^2 approx 10003,1416 times 46,24 approx 1000145,31 approx 6,88 cm , vamos encontrar usando a expressão que derivamos:

Resposta

As medidas que minimizam a área da chapa são aproximadamente raio cm e altura cm.

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