Deseja-se cortar um arame de comprimento 1 metro em dois pedaços, para formar com um deles um círculo e com o outro um quadrado. Denote por
o comprimento do pedaço de arame com o qual se formará o círculo.
(a) Determine, em função de
, a soma das áreas das figuras obtidas.
(b) Determine os extremos locais da função do item (a), classificando-os como máximos ou mínimos locais.
(c) Determine o máximo e o mínimo absolutos da função do item (a) no intervalo
.
(a) Determine, em função de
(b) Determine os extremos locais da função do item (a), classificando-os como máximos ou mínimos locais.
(c) Determine o máximo e o mínimo absolutos da função do item (a) no intervalo
Passo 1
O enunciado pede que a gente corte um arame de comprimento
metro em dois pedaços: um de comprimento
para formar um círculo e outro de comprimento
para formar um quadrado. O conteúdo aqui é otimização de função de uma variável: primeiro a gente monta a função que dá a soma das áreas em função de
, depois derivada para achar extremos e classificar minimamente os pontos, e por fim checar valores absolutos no intervalo fechado
.
Passo 2
Para montar a função das áreas, usamos a geometria básica:
- Se a circunferência tem perímetro
, seu raio é e sua área é
- Se o quadrado tem perímetro
, cada lado mede e sua área é
Logo a soma das áreas é
Passo 3
Para achar extremos locais, calculamos a derivada:
Impondo
temos
Passo 4
Para classificar, calculamos a segunda derivada:
Como
,
é um mínimo local.
Passo 5
No intervalo
verificamos também os valores nos extremos:
Comparando numericamente:
logo o mínimo absoluto é em
e o máximo absoluto ocorre em
.
Resposta
(a)
(b) Ponto crítico em
, que é mínimo local (pois
).
(c) No intervalo , o mínimo absoluto é
(c) No intervalo
e o máximo absoluto é