Deseja-se cortar um arame de comprimento 1 metro em dois pedaços, para formar com um deles um círculo e com o outro um quadrado. Denote por x o comprimento do pedaço de arame com o qual se formará o círculo.
(a) Determine, em função de x, a soma das áreas das figuras obtidas.
(b) Determine os extremos locais da função do item (a), classificando-os como máximos ou mínimos locais.
(c) Determine o máximo e o mínimo absolutos da função do item (a) no intervalo [0,1].

Passo 1

O enunciado pede que a gente corte um arame de comprimento 1 metro em dois pedaços: um de comprimento x para formar um círculo e outro de comprimento 1 - x para formar um quadrado. O conteúdo aqui é otimização de função de uma variável: primeiro a gente monta a função que dá a soma das áreas em função de x, depois derivada para achar extremos e classificar minimamente os pontos, e por fim checar valores absolutos no intervalo fechado [0,1].

Passo 2

Para montar a função das áreas, usamos a geometria básica:
  • Se a circunferência tem perímetro x, seu raio é r = x2pi e sua área é
Acírculo = pi r^2 = pi l(x2pir)^2 = x^24pi í
  • Se o quadrado tem perímetro 1 - x, cada lado mede 1 - x4 e sua área é
Aquadrado = l(1 - x4r)^2 = (1 - x)^216
Logo a soma das áreas é
A(x) = x^24pi + (1 - x)^216

Passo 3

Para achar extremos locais, calculamos a derivada:
A'(x) = ddxl(x^24pir) + ddxl((1 - x)^216r) = x2pi - 1 - x8 = x2pi + x - 18
Impondo A'(x)=0 temos
x2pi + x - 18 = 0 Longrightarrow xl(tfrac12pi + tfrac18r) = tfrac18 Longrightarrow x = pipi + 4

Passo 4

Para classificar, calculamos a segunda derivada:
A''(x) = ddxl(x2pi + x - 18r) = 12pi + 18 > 0
Como A''(x)>0, x = pipi + 4 é um mínimo local.

Passo 5

No intervalo [0,1] verificamos também os valores nos extremos:
A(0) = 0 + 1^216 = 116, A(1) = 14pi + 0 = 14pi,
Al(tfracpipi + 4r) = 14(pi + 4)
Comparando numericamente:
Al(tfracpipi + 4r) < A(0) < A(1),
logo o mínimo absoluto é em x = tfracpipi + 4 e o máximo absoluto ocorre em x = 1.

Resposta

(a) A(x) = x^24pi + (1 - x)^216
(b) Ponto crítico em x = pipi + 4, que é mínimo local (pois A''>0).
(c) No intervalo [0,1], o mínimo absoluto é
x = pipi + 4,
e o máximo absoluto é
x = 1

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