Determine se as sequências são monótonas.
an=4 nn+1

Passo 1

O enunciado dá a sequência
an = 4n,n+1,
e pede para vermos se ela é monótona, isto é, se é estritamente crescente, estritamente decrescente ou nenhuma das duas. Para isso, vamos usar o critério de diferença
an+1-an

Passo 2

Lembrando que uma sequência an é estritamente crescente se, para todo ninN,
an+1-an > 0,
e é estritamente decrescente se
an+1-an < 0

Passo 3

Calculemos
an+1 ;=;4(n+1)(n+1)+1 ;=;4(n+1)n+2 e an = 4nn+1
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an+1-an =4(n+1)n+2-4nn+1 =4;(n+1)^2 - n(n+2)(n+2)(n+1)

Passo 4

Simplificando o numerador:
(n+1)^2 - n(n+2) = (n^2 + 2n +1) - (n^2 +2n) =1
Assim
an+1-an =4;1(n+1)(n+2) >0 para todo ninN

Resposta

A sequência an=4nn+1 é estritamente crescente (monotonicamente crescente).

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