Determine se as sequências são monótonas.
bn=sen(n pi6)

Passo 1

O enunciado define a sequência
bn = sin!l(npi6r)
e pede para verificarmos se ela é monótona (isto é, sempre crescente ou sempre decrescente). Vamos usar a definição de sequência monótona e analisar os valores iniciais para identificar um padrão.

Passo 2

Uma sequência bn é
– estritamente crescente se bn+1>bn para todo n,
– não decrescente se bn+1>= bn para todo n,
– análogo para decrescimento. Basta encontrar algum n em que a desigualdade falhe para concluir não monotonicidade.

Passo 3

Calculamos os termos iniciais:
b1&=sin!l(tfracpi6r)=tfrac12, b2&=sin!l(tfracpi3r)=tfracraiz32approx0,866, b3&=sin!l(tfracpi2r)=1, b4&=sin!l(tfrac2pi3r)=tfracraiz32approx0,866, b5&=sin!l(tfrac5pi6r)=tfrac12, b6&=sin(pi)=0, b7&=sin!l(tfrac7pi6r)=-tfrac12,;dots

Passo 4

Observando esses valores vemos que de n=1 para n=2 e para n=3 a sequência cresce ( 0,5to0,866to1), mas a seguir de n=3 para n=4 ela decresce ( 1to0,866), e depois desce novamente ( 0,866to0,5to0), passando a valores negativos. Logo falha tanto a condição de sempre crescer quanto a de sempre decrescer.

Resposta

A sequência bn=sin!l(tfracnpi6r) não é monótona.

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