Indicando por theta(t) o ângulo, em função do tempo, que um pêndulo faz com a vertical, mostra-se que essa função satisfaz à equação theta^prime prime(t)=-omega^2 theta(t), para alguma constante omega.
(a) Verifique que as funções cos (omega t) e sen (omega t) satisfazem à equação acima.
(b) Verifique que, se theta1(t) e theta2(t) são soluções da equação dada, então, para quaisquer constantes a e b, a theta1(t)+b theta2(t) também é solução.
(c) Use os itens anteriores para obter uma solução theta(t) da equação que satisfaz theta(0)=2 e theta^prime(0)=1.

Passo 1

O enunciado trata da equação do oscilador harmónico
theta''(t) + omega^2,theta(t)=0
onde omega é constante. Precisamos:
– (a) mostrar que cos(omega t) e sin(omega t) satisfazem essa equação;
– (b) usar o fato de a equação ser linear e homogênea para provar que combinações lineares de soluções também o são;
– (c) obter a solução que satisfaz as condições iniciais theta(0)=2 e theta'(0)=1.

Passo 2

Verificamos para theta1(t)=cos(omega t). Calculando derivadas temos
theta1'(t) = -omegasin(omega t), theta1''(t) = -omega^2cos(omega t) = -omega^2,theta1(t)
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theta1''(t) + omega^2,theta1(t) = -omega^2,theta1(t) + omega^2,theta1(t) =0,
ou seja, cos(omega t) satisfaz à equação.

Passo 3

Agora para theta2(t)=sin(omega t). Tem-se
theta2'(t)=omegacos(omega t), theta2''(t)=-omega^2sin(omega t)=-omega^2,theta2(t),
de onde
theta2''(t)+omega^2,theta2(t) =0
Assim, sin(omega t) também é solução.

Passo 4

Como a equação é linear e homogênea, se theta1 e theta2 são soluções então, para quaisquer constantes a,b,
theta(t)=a,theta1(t)+b,theta2(t)
satisfaz
theta''+omega^2theta =a(theta1''+omega^2theta1) +b(theta2''+omega^2theta2)=0+0=0

Passo 5

A solução geral é
theta(t)=Acos(omega t)+Bsin(omega t)
Usando theta(0)=2 vem
theta(0)=Acos0+Bsin0=A=2
Como
theta'(t)=-Aomegasin(omega t)+Bomegacos(omega t),
temos theta'(0)=Bomega=1, ou seja B=1/omega. Portanto a solução procurada é
theta(t)=2cos(omega t)+1omegasin(omega t)

Resposta

boxedtheta(t)=2cos(omega t)+1omegasin(omega t)

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