Indicando por
o ângulo, em função do tempo, que um pêndulo faz com a vertical, mostra-se que essa função satisfaz à equação
, para alguma constante
.
(a) Verifique que as funções
e sen
satisfazem à equação acima.
(b) Verifique que, se
e
são soluções da equação dada, então, para quaisquer constantes
e
,
também é solução.
(c) Use os itens anteriores para obter uma solução
da equação que satisfaz
e
.
(a) Verifique que as funções
(b) Verifique que, se
(c) Use os itens anteriores para obter uma solução
Passo 1
O enunciado trata da equação do oscilador harmónico
onde
é constante. Precisamos:
– (a) mostrar que e
satisfazem essa equação;
– (b) usar o fato de a equação ser linear e homogênea para provar que combinações lineares de soluções também o são;
– (c) obter a solução que satisfaz as condições iniciais e
.
– (a) mostrar que
– (b) usar o fato de a equação ser linear e homogênea para provar que combinações lineares de soluções também o são;
– (c) obter a solução que satisfaz as condições iniciais
Passo 2
Verificamos para
. Calculando derivadas temos
Logo
ou seja,
satisfaz à equação.
Passo 3
Agora para
. Tem-se
de onde
Assim,
também é solução.
Passo 4
Como a equação é linear e homogênea, se
e
são soluções então, para quaisquer constantes
,
satisfaz
Passo 5
A solução geral é
Usando
vem
Como
temos
, ou seja
. Portanto a solução procurada é