Se se deseja determinar a massa de 1 cm 3 de alumínio com precisão de 1 \% usando uma balança de vigas e pesos de latão calibrados, o resultado da medição deve ser corrigido para o efeito de flutuação do ar? Com que precisão a medição precisa ser corrigida para flutuabilidade?

Passo 1

O enunciado pede a massa de um volume V=1\\ \text{cm}^3 de alumínio usando balança de vigas e pesos de latão, com precisão de 1\%. Como a medição em ar sofre empuxo de Arquimedes, vamos usar o princípio de equilíbrio da balança para estimar o erro relativo introduzido pela flutuação do ar e comparar com os 1\% desejados.

Passo 2

Quando a balança está em equilíbrio temos
m_{\text{Al}}\,g-\rho_{\text{ar}}V_{\text{Al}}\,g = m_{\text{Lat}}\,g-\rho_{\text{ar}}V_{\text{Lat}}\,g,
onde m_{\text{Al}} é a massa verdadeira do alumínio, \rho_{\text{ar}} a densidade do ar, V_{\text{Al}} o volume de alumínio, m_{\text{Lat}} a massa dos pesos de latão e V_{\text{Lat}} o volume desses pesos. Como V_{\text{Al}}=m_{\text{Al}}/\rho_{\text{Al}} e V_{\text{Lat}}=m_{\text{Lat}}/\rho_{\text{Lat}}, isolamos m_{\text{Lat}} (que é o valor que a balança indicará):
m_{\text{Lat}} = m_{\text{Al}} \;\frac{1 - \rho_{\text{ar}}/\rho_{\text{Al}}}{1 - \rho_{\text{ar}}/\rho_{\text{Lat}}}.
Esse quociente é o fator de correção da flutuação do ar.

Passo 3

Para avaliar o erro relativo ao desprezar essa correção, definimos
\frac{m_{\text{Lat}}}{m_{\text{Al}}}-1 = \frac{1 - \rho_{\text{ar}}/\rho_{\text{Al}}}{1 - \rho_{\text{ar}}/\rho_{\text{Lat}}}-1.
Tomando valores típicos \rho_{\text{ar}}\approx1{,}2\\ \mathrm{kg/m^3}, \rho_{\text{Al}}\approx2{,}70\times10^3\\ \mathrm{kg/m^3} e \rho_{\text{Lat}}\approx8{,}50\times10^3\\ \mathrm{kg/m^3}, obtemos
1 - \frac{\rho_{\text{ar}}}{\rho_{\text{Al}}}\approx1 - 4{,}4\times10^{-4}=0{,}99956, \quad 1 - \frac{\rho_{\text{ar}}}{\rho_{\text{Lat}}}\approx1 - 1{,}4\times10^{-4}=0{,}99986,
\frac{0{,}99956}{0{,}99986}-1\approx -3{,}0\times10^{-4}.
Ou seja, se você não corrigir, a massa indicada será cerca de 0{,}03\% menor que a real.

Passo 4

Como a precisão exigida é de 1\%, e o efeito de flutuação do ar provoca erro de apenas 0{,}03\%, esse sistema sistemático é pequeno comparado ao limite de 1\%. Logo, para atingir 1\% de precisão geral, a correção de empuxo pode ser desprezada sem comprometer a meta. No entanto, se fosse necessária precisão melhor que 0{,}03\%, seria preciso aplicar o fator acima.

Resposta

A correção de flutuação do ar corresponde a cerca de 3\times10^{-4} (ou 0{,}03\%). Como isso é muito menor que a precisão de 1\% desejada, não é preciso corrigir o resultado para atingir essa meta.

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