Um processo de produção é verificado periodicamente por um inspetor de controle de qualidade. O inspetor seleciona amostras aleatórias simples de 36 produtos acabados e calcula o peso médio (em kg) dos produtos da amostra.
a) Se os resultados dos testes depois de um longo período de tempo mostram que P(1,9<X<2,1)=0,9 e P(X>2,1)=0,05, quais são a média e o desvio-padrão para a população de produtos produzidos sob esse processo?
b) Para que o erro amostral não supere as 100 gramas, para mais ou para menos, em 99 % das vezes que o inspetor de controle de qualidade verificar a produção, quantos produtos acabados deverão ser inspecionados? Caso necessite, utilize os resultados encontrados no item anterior.

Passo 1

O enunciado trata de uma variável aleatória X (peso de cada produto) com média mu e desvio-padrão sigma, e de uma estatística amostral X de tamanho n=36. Sabemos que Xsim Nl(mu,sigma/raiznr). No item (a) vamos usar as probabilidades fornecidas para obter mu e sigma. No item (b) vamos escolher n para que o erro amostral seja pm0,1 kg com 99 % de confiança.

Passo 2

Da informação
Pl(X>2,1r)=0,05
temos que 2,1 é o 95º percentil da normal-padrão. Logo, se Zsim N(0,1),
2,1-musigma/raiz36 = z0,95 = 1,645
Isto gera a equação
2,1 - mu = 1,645,sigma6

Passo 3

Da informação
Pl(1,9<X<2,1r)=0,90
sabemos também que
Pl(X<=1,9r)=0,05,
ou seja, 1,9 é o 5º percentil da normal-padrão. Logo
1,9-musigma/raiz36 = -1,645
que leva a
mu - 1,9 = 1,645,sigma6

Passo 4

Somando as duas equações
(2,1-mu)+(mu-1,9) =0,2 e 1,645,sigma6+1,645,sigma6 = 3,29,sigma6,
temos
3,29,sigma6 = 0,2 Longrightarrow sigma = 0,2cdot63,29approx0,365;kg
E como 2,1-mu = 1,645,sigma/6, fica claro que mu=(1,9+2,1)/2=2,0 kg.

Passo 5

Para o item (b) queremos erro máximo E=0,1 kg com nível de confiança 99 %, em que
E = z0,995,sigmaraizn,
sendo z0,995=2,5758. Substituindo sigmaapprox0,365
n = l(2,5758cdot0,3650,1r)^2approx88,3
Como n deve ser inteiro, arredondamos para cima.

Resposta

Média mu=2,0 kg e desvio-padrão sigmaapprox0,365 kg.
Para erro amostral de pm0,1 kg com 99 % de confiança, n=89 produtos.

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