Deseja-se estimar a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool a um nível de confiança de 99 \%.
Determine o tamanho da amostra necessário para estimar a proporção populacional com um erro de 2 \%.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Quer-se estimar a proporção populacional de acidentes fatais relacionados ao álcool com nível de confiança de 99\%.
  • O erro tolerado (margem de erro) deve ser 2\%.
  • Não foi dado um valor prévio para a proporção p.
Pergunta a responder: determinar o tamanho da amostra necessário.

Passo 2

Fórmula básica e explicação dos símbolos.
Para estimar uma proporção, a margem de erro E (para um intervalo de confiança bilateral) é dada por
E = z_{\alpha/2}\,\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}},
onde:
  • E é o erro máximo tolerado (aqui E=0,02),
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão associado ao nível de confiança (explicarei como obter abaixo),
  • p é a proporção populacional (desconhecida),
  • n é o tamanho da amostra que queremos achar.
Essa fórmula vem do fato de que, para proporções, a distribuição amostral aproximada de \hat p tem desvio padrão \sqrt{p(1-p)/n}, e multiplicando por z_{\alpha/2} obtemos a meia-amplitude do intervalo de confiança.

Passo 3

Isolar n na fórmula (resolver para n).
Partindo de
E = z_{\alpha/2}\,\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}},
eleva-se ao quadrado e isola-se n:
E^2 = z_{\alpha/2}^2\cdot\dfrac{p(1-p)}{n} \qquad\Rightarrow\qquad n = \dfrac{z_{\alpha/2}^2\;p(1-p)}{E^2}.
Agora basta substituir os valores de z_{\alpha/2}, p e E.

Passo 4

Determinar z_{\alpha/2} para 99\% de confiança.
  • O nível de confiança 99\% implica \alpha = 1-0,99 = 0,01.
  • Então \alpha/2 = 0,005.
  • z_{\alpha/2} é o valor tal que P(Z>z_{\alpha/2})=0,005 para Z\sim N(0,1). Esse valor tabelado ou obtido por calculadora é aproximadamente z_{\alpha/2}\approx 2,576.

Passo 5

Escolher p quando não há estimativa prévia.
Se não há uma estimativa prévia de p, usa-se o caso conservador p=0,5 porque p(1-p) atinge seu máximo em p=0,5. Assim garante-se que a amostra será suficientemente grande para qualquer proporção real. Com p=0,5 tem-se
p(1-p)=0,5\cdot(1-0,5)=0,25.

Passo 6

Substituir os valores e calcular n.
Usando z_{\alpha/2}=2,576, p(1-p)=0,25 e E=0,02:
n=\dfrac{(2,576)^2\cdot 0,25}{(0,02)^2}.
Calcule passo a passo:
(2,576)^2 = 6{,}635776,
(2,576)^2\cdot 0,25 = 6{,}635776\times 0,25 = 1{,}658944,
E^2 = (0,02)^2 = 0{,}0004,
n = \dfrac{1{,}658944}{0{,}0004} = 4{,}147{,}36.

Passo 7

Arredondamento e justificativa.
Como n deve ser um número inteiro e é preciso garantir que a margem de erro seja no máximo 2\%, arredonda-se para cima:
n = 4{,}148.
Explicação final curta: arredonda-se para cima para não correr o risco de a amostra ficar pequena demais e o erro real ser maior que 2\%.

Resposta

4148

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