Deseja-se estimar a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool a um nível de confiança de
.
Determine o tamanho da amostra necessário para estimar a proporção populacional com um erro de
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Quer-se estimar a proporção populacional de acidentes fatais relacionados ao álcool com nível de confiança de
. - O erro tolerado (margem de erro) deve ser
. - Não foi dado um valor prévio para a proporção
.
Pergunta a responder: determinar o tamanho da amostra necessário.
Passo 2
Fórmula básica e explicação dos símbolos.
Para estimar uma proporção, a margem de erro
(para um intervalo de confiança bilateral) é dada por
onde:
-
é o erro máximo tolerado (aqui ), -
é o quantil da distribuição normal padrão associado ao nível de confiança (explicarei como obter abaixo), -
é a proporção populacional (desconhecida), -
é o tamanho da amostra que queremos achar.
Essa fórmula vem do fato de que, para proporções, a distribuição amostral aproximada de
tem desvio padrão
, e multiplicando por
obtemos a meia-amplitude do intervalo de confiança.
Passo 3
Isolar
na fórmula (resolver para
).
Partindo de
eleva-se ao quadrado e isola-se
:
Agora basta substituir os valores de
,
e
.
Passo 4
Determinar
para
de confiança.
- O nível de confiança
implica . - Então
. -
é o valor tal que para . Esse valor tabelado ou obtido por calculadora é aproximadamente .
Passo 5
Escolher
quando não há estimativa prévia.
Se não há uma estimativa prévia de
, usa-se o caso conservador
porque
atinge seu máximo em
. Assim garante-se que a amostra será suficientemente grande para qualquer proporção real. Com
tem-se
Passo 6
Substituir os valores e calcular
.
Usando
,
e
:
Calcule passo a passo:
Passo 7
Arredondamento e justificativa.
Como
deve ser um número inteiro e é preciso garantir que a margem de erro seja no máximo
, arredonda-se para cima:
Explicação final curta: arredonda-se para cima para não correr o risco de a amostra ficar pequena demais e o erro real ser maior que
.