Você quer estimar a média de preço para um bilhete só de ida de Atlanta a Chicago. Quantos bilhetes terão de ser incluídos em sua amostra se você quiser estar 95 \% seguro de que a média amostral está a no máximo US$2 da média populacional?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Quer-se estimar a média do preço de um bilhete só de ida de Atlanta a Chicago.
  • Nível de confiança: 95\%.
  • Margem máxima aceitável entre a média amostral e a média populacional: \,\$2 \, (isto é, erro máximo tolerado E=\$2).
    A pergunta é: quantos bilhetes devem ser incluídos na amostra (isto é, qual n necessário) para garantir, com 95\% de confiança, que o erro da estimativa da média seja, no máximo, \$2.

Passo 2

Explicando o que normalmente usamos para esse tipo de problema (a ideia essencial, sem pular etapas):
  • Quando se estima a média populacional e se conhece (ou assume) o desvio-padrão populacional \sigma, a confiança de 1-\alpha para a média é dada pelo intervalo de confiança
\bar{X} \pm z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{X} é a média amostral (valor estimado),
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão associado ao nível de confiança (por exemplo, para 95\%, z_{0,975}),
  • \sigma é o desvio-padrão da população,
  • n é o tamanho da amostra.
  • O termo z_{1-\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} é a “metade da largura” do intervalo de confiança, que chamamos de margem de erro E. Para garantir que a média amostral esteja a no máximo E da média populacional, precisamos que
E = z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Observação importantíssima: esse cálculo exige conhecer (ou ter uma estimativa confiável de) \sigma. Sem \sigma não há como obter um valor numérico exato para n.

Passo 3

Agora vamos isolar n na fórmula do erro E. Partindo de
E = z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
fazemos as etapas algébricas cuidadosamente:
  1. Multiplicar ambos os lados por \sqrt{n}:
E\sqrt{n} = z_{1-\alpha/2}\,\sigma.
  1. Dividir ambos os lados por E:
\sqrt{n} = \frac{z_{1-\alpha/2}\,\sigma}{E}.
  1. Elevar ao quadrado para obter n:
n = \left(\frac{z_{1-\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^{2}.
Isto nos dá a fórmula geral para o tamanho da amostra quando \sigma é conhecida (ou estimada).

Passo 4

Aplicando os números do enunciado:
  • Nível de confiança 95\% corresponde a \alpha=0,05 e portanto usamos o quantil z_{0,975}. O valor padrão é
z_{0,975} \approx 1,96.
  • Margem de erro desejada: E=\$2.
Substituindo em n=\left(\dfrac{z_{1-\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^{2} obtemos
n = \left(\frac{1,96\,\sigma}{2}\right)^{2}.

Passo 5

Simplificando numericamente a expressão:
\frac{1,96}{2}=0,98,
portanto
n = (0,98\,\sigma)^{2} = 0,9604\,\sigma^{2}.
Isto significa que o tamanho da amostra necessário depende diretamente do quadrado do desvio-padrão populacional \sigma. Para garantir a condição de erro máximo E, deve-se arredondar n para cima (tomar o teto) porque n precisa ser inteiro e queremos garantir que o erro não ultrapasse E:
n = \left\lceil 0,9604\,\sigma^{2}\right\rceil.

Passo 6

E agora, o que fazer se você não conhece \sigma (situação muito comum):
  • Fazer uma amostra piloto pequena (por exemplo, 20–30 bilhetes), calcular o desvio-padrão amostral s e usar s como aproximação de \sigma na fórmula acima.
  • Usar dados históricos ou literatura para obter uma estimativa de \sigma.
  • Usar uma regra prática quando só se tem o intervalo típico de preços: aproximar \sigma \approx \dfrac{\text{range}}{4} (regra empírica de Tukey) e então aplicar a fórmula.
  • Se quiser uma sensação de números concretos, seguem exemplos (apenas ilustrativos, sem pedir informação extra):
    • Se \sigma=\$10, então n \approx 0,9604\times 10^{2}=96,04, ou seja n=97.
    • Se \sigma=\$20, então n \approx 0,9604\times 20^{2}=384,16, ou seja n=385.
    • Se \sigma=\$5, então n \approx 0,9604\times 5^{2}=24,01, ou seja n=25.

Resposta

n = \left(\dfrac{1,96\,\sigma}{2}\right)^{2} = 0,9604\,\sigma^{2} \
Arredonde para cima: n=\left\lceil 0,9604\,\sigma^{2}\right\rceil.

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