Você quer estimar a média de preço para um bilhete só de ida de Atlanta a Chicago. Quantos bilhetes terão de ser incluídos em sua amostra se você quiser estar
seguro de que a média amostral está a no máximo US$2 da média populacional?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Quer-se estimar a média do preço de um bilhete só de ida de Atlanta a Chicago.
- Nível de confiança:
. - Margem máxima aceitável entre a média amostral e a média populacional:
(isto é, erro máximo tolerado ).
A pergunta é: quantos bilhetes devem ser incluídos na amostra (isto é, qualnecessário) para garantir, com de confiança, que o erro da estimativa da média seja, no máximo, .
Passo 2
Explicando o que normalmente usamos para esse tipo de problema (a ideia essencial, sem pular etapas):
- Quando se estima a média populacional e se conhece (ou assume) o desvio-padrão populacional
, a confiança de para a média é dada pelo intervalo de confiança
onde:
-
é a média amostral (valor estimado), -
é o quantil da distribuição normal padrão associado ao nível de confiança (por exemplo, para , ), -
é o desvio-padrão da população, -
é o tamanho da amostra. - O termo
é a “metade da largura” do intervalo de confiança, que chamamos de margem de erro . Para garantir que a média amostral esteja a no máximo da média populacional, precisamos que
Observação importantíssima: esse cálculo exige conhecer (ou ter uma estimativa confiável de)
. Sem
não há como obter um valor numérico exato para
.
Passo 3
Agora vamos isolar
na fórmula do erro
. Partindo de
fazemos as etapas algébricas cuidadosamente:
- Multiplicar ambos os lados por
:
- Dividir ambos os lados por
:
- Elevar ao quadrado para obter
:
Isto nos dá a fórmula geral para o tamanho da amostra quando
é conhecida (ou estimada).
Passo 4
Aplicando os números do enunciado:
- Nível de confiança
corresponde a e portanto usamos o quantil . O valor padrão é
- Margem de erro desejada:
.
Substituindo em
obtemos
Passo 5
Simplificando numericamente a expressão:
portanto
Isto significa que o tamanho da amostra necessário depende diretamente do quadrado do desvio-padrão populacional
. Para garantir a condição de erro máximo
, deve-se arredondar
para cima (tomar o teto) porque
precisa ser inteiro e queremos garantir que o erro não ultrapasse
:
Passo 6
E agora, o que fazer se você não conhece
(situação muito comum):
- Fazer uma amostra piloto pequena (por exemplo, 20–30 bilhetes), calcular o desvio-padrão amostral
e usar como aproximação de na fórmula acima. - Usar dados históricos ou literatura para obter uma estimativa de
. - Usar uma regra prática quando só se tem o intervalo típico de preços: aproximar
(regra empírica de Tukey) e então aplicar a fórmula. - Se quiser uma sensação de números concretos, seguem exemplos (apenas ilustrativos, sem pedir informação extra):
- Se
, então , ou seja . - Se
, então , ou seja . - Se
, então , ou seja .
- Se
Resposta
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