Uma fábrica de automóveis anuncia que seus carros consomem, em média, 11 litros por 100 km , com desvio padrão de 0,8 litro. Uma revista resolve testar essa afirmação e analisa 36 automóveis dessa marca, obtendo 11,3 litros por 100 km como consumo médio (considerar distribuição normal). O que a revista pode concluir sobre o anúncio da fábrica, no nível de
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo que importa):
- Consumo anunciado pela fábrica:
litros por km (valor populacional alegado). - Desvio padrão populacional conhecido:
litro por km. - Tamanho da amostra:
. - Média amostral obtida pela revista:
litros por km. - Pressuposto: distribuição normal da variável consumo.
- Nível de significância pedido:
(ou ).
O que a revista quer saber: podemos concluir, ao nível de
, que o anúncio da fábrica (média igual a
) está correto ou não?
Passo 2
Formulação das hipóteses (a maneira mais direta de testar uma afirmação “consome em média 11” é testar igualdade):
Explicação curta:
é a afirmação da fábrica;
é que a média verdadeira é diferente de
. Como a revista quer verificar se a alegação está correta, usamos um teste bilateral (duas caudas).
Passo 3
Escolha do teste e fórmula do estatístico:
- Como o desvio padrão populacional
é conhecido e a variável é normal, usamos o teste para a média. - O estatístico
é dado por:
onde:
-
é a média amostral; -
é a média sob ; -
é o desvio padrão populacional; -
é o tamanho da amostra; -
é o erro padrão da média (medida de quanto a média amostral oscila em torno da média populacional).
Passo 4
Calcular o erro padrão da média:
(ou seja, aproximadamente
litro por
km).
Passo 5
Calcular o valor do estatístico
:
Expliquei cada passo: subtrai a média hipotética, dividi pelo erro padrão e obtive
.
Passo 6
Determinar a região crítica (decisão) para
em teste bilateral:
- Como o teste é bilateral, cada cauda recebe
. - O valor crítico em z é
. Usando tabela da normal padrão ou software:
Regra de decisão: rejeitar
se
.
Passo 7
Comparação e cálculo do p-valor:
- Temos
e o crítico é . Como , a estatística cai na região crítica → rejeita-se . - Cálculo do p-valor (para comunicar força da evidência):
Usando
(CDF da normal padrão),
O p-valor é aproximadamente
, bem menor que
, o que confirma a rejeição de
.
Passo 8
Interpretação final (em linguagem simples e amigável):
- A evidência amostral é suficiente, ao nível de significância de
, para concluir que a média real de consumo difere de L/100 km. - Como a média amostral observada (
) é maior que , a interpretação prática é que os carros, segundo essa amostra, consomem mais do que o anunciado (isto é, apresentam pior consumo). - Observação de empatia: isso não prova que todos os carros da marca têm média exatamente
; prova apenas que, com os dados da amostra e os pressupostos feitos, há evidência estatística contra a afirmação da fábrica ao nível de .
Resposta
Rejeita-se
. Há evidência, ao nível de
, de que o consumo médio difere de
L/100 km; a média amostral indica consumo maior (
L/100 km).