Uma fábrica de automóveis anuncia que seus carros consomem, em média, 11 litros por 100 km , com desvio padrão de 0,8 litro. Uma revista resolve testar essa afirmação e analisa 36 automóveis dessa marca, obtendo 11,3 litros por 100 km como consumo médio (considerar distribuição normal). O que a revista pode concluir sobre o anúncio da fábrica, no nível de 8 \% ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo que importa):
  • Consumo anunciado pela fábrica: \mu_0 = 11 litros por 100 km (valor populacional alegado).
  • Desvio padrão populacional conhecido: \sigma = 0,8 litro por 100 km.
  • Tamanho da amostra: n = 36.
  • Média amostral obtida pela revista: \bar{x} = 11,3 litros por 100 km.
  • Pressuposto: distribuição normal da variável consumo.
  • Nível de significância pedido: \alpha = 0,08 (ou 8\%).
O que a revista quer saber: podemos concluir, ao nível de 8\%, que o anúncio da fábrica (média igual a 11) está correto ou não?

Passo 2

Formulação das hipóteses (a maneira mais direta de testar uma afirmação “consome em média 11” é testar igualdade):
H_0:\\ \mu = 11
H_1:\\ \mu \neq 11
Explicação curta: H_0 é a afirmação da fábrica; H_1 é que a média verdadeira é diferente de 11. Como a revista quer verificar se a alegação está correta, usamos um teste bilateral (duas caudas).

Passo 3

Escolha do teste e fórmula do estatístico:
  • Como o desvio padrão populacional \sigma é conhecido e a variável é normal, usamos o teste z para a média.
  • O estatístico z é dado por:
z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}
onde:
  • \bar{x} é a média amostral;
  • \mu_0 é a média sob H_0;
  • \sigma é o desvio padrão populacional;
  • n é o tamanho da amostra;
  • \sigma/\sqrt{n} é o erro padrão da média (medida de quanto a média amostral oscila em torno da média populacional).

Passo 4

Calcular o erro padrão da média:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{0,8}{\sqrt{36}}=\frac{0,8}{6}=0,1333\ldots
(ou seja, aproximadamente 0,1333 litro por 100 km).

Passo 5

Calcular o valor do estatístico z:
z=\frac{11,3-11}{0,8/6}=\frac{0,3}{0,1333\ldots}=2,25.
Expliquei cada passo: subtrai a média hipotética, dividi pelo erro padrão e obtive z\approx 2,25.

Passo 6

Determinar a região crítica (decisão) para \alpha=0,08 em teste bilateral:
  • Como o teste é bilateral, cada cauda recebe \alpha/2 = 0,04.
  • O valor crítico em z é z_{1-0,04}=z_{0,96}. Usando tabela da normal padrão ou software:
z_{0,96}\approx 1,7507.
Regra de decisão: rejeitar H_0 se |z|>1,7507.

Passo 7

Comparação e cálculo do p-valor:
  • Temos |z|=2,25 e o crítico é 1,7507. Como 2,25>1,7507, a estatística cai na região crítica → rejeita-se H_0.
  • Cálculo do p-valor (para comunicar força da evidência):
p = 2\bigl(1-\Phi(2,25)\bigr).
Usando \Phi(2,25)\approx 0,9878 (CDF da normal padrão),
p \approx 2(1-0,9878)=2(0,0122)=0,0244.
O p-valor é aproximadamente 0,0244, bem menor que \alpha=0,08, o que confirma a rejeição de H_0.

Passo 8

Interpretação final (em linguagem simples e amigável):
  • A evidência amostral é suficiente, ao nível de significância de 8\%, para concluir que a média real de consumo difere de 11 L/100 km.
  • Como a média amostral observada ( 11,3) é maior que 11, a interpretação prática é que os carros, segundo essa amostra, consomem mais do que o anunciado (isto é, apresentam pior consumo).
  • Observação de empatia: isso não prova que todos os carros da marca têm média exatamente 11,3; prova apenas que, com os dados da amostra e os pressupostos feitos, há evidência estatística contra a afirmação da fábrica ao nível de 8\%.

Resposta

Rejeita-se H_0. Há evidência, ao nível de 8\%, de que o consumo médio difere de 11 L/100 km; a média amostral indica consumo maior ( 11,3 L/100 km).

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