Deseja-se estipular limites da concentração ( g / kg ) de uma determinada substância em certo produto. O fabricante seleciona uma amostra de tamanho 36 desse produto e avalia a concentração da substância. A análise descritiva revelou média de 250 g / kg e desvio padrão de 50 g / kg.
Para um erro de estimativa da média de no máximo 10 g / kg e com confiança de 95 %, dimensione uma nova amostra para inferências futuras sobre a substância.

Passo 1

Então, vamos resolver um exercício que envolve estatística, mais especificamente sobre como determinar o tamanho de uma amostra necessária para estimar a média de uma concentração com certa precisão e confiança. A gente tem uma amostra inicial de 36 produtos, onde a média da concentração da substância é de 250 , g/kg e o desvio padrão é de 50 , g/kg. Queremos saber qual deve ser o tamanho de uma nova amostra para que o erro de estimativa da média seja, no máximo, 10 , g/kg com um nível de confiança de 95%.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o erro de estimativa da média. Ele representa a margem de erro que estamos dispostos a aceitar na nossa estimativa da média populacional. Nesse caso, queremos que esse erro seja no máximo 10 , g/kg.

Passo 3

Para determinar o tamanho da amostra necessário ( n), usamos a fórmula do erro de estimativa na construção de intervalos de confiança para a média. A fórmula é:
E = zalpha/2 times (sigmaraizn)
Onde:
  • E é o erro de estimativa ( 10 , g/kg),
  • zalpha/2 é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado,
  • sigma é o desvio padrão da população ( 50 , g/kg),
  • n é o tamanho da amostra que queremos encontrar.

Passo 4

Primeiro, precisamos encontrar o valor de zalpha/2 para um nível de confiança de 95%. Esse valor corresponde a quantos desvios padrão a média está do valor crítico em uma distribuição normal padrão.
Para 95% de confiança, zalpha/2 é aproximadamente 1,96.

Passo 5

Agora, substituímos os valores conhecidos na fórmula para resolver n:
10 = 1,96 times (50raizn)

Passo 6

Vamos isolar raizn:
raizn = 1,96 times 5010
raizn = 9810 = 9,8

Passo 7

Elevamos ambos os lados ao quadrado para encontrar n:
n = (9,8)^2 = 96,04

Passo 8

Como o tamanho da amostra deve ser um número inteiro e geralmente arredondamos para cima para garantir que o erro de estimativa não seja excedido, teremos:
n = 97

Resposta

Portanto, para que o erro de estimativa da média seja, no máximo, 10 , g/kg com um nível de confiança de 95%, o tamanho da nova amostra deve ser de 97 produtos.

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