Deseja-se estipular limites da concentração (
) de uma determinada substância em certo produto. O fabricante seleciona uma amostra de tamanho 36 desse produto e avalia a concentração da substância. A análise descritiva revelou média de
e desvio padrão de
.
Para um erro de estimativa da média de no máximo
e com confiança de
, dimensione uma nova amostra para inferências futuras sobre a substância.
Para um erro de estimativa da média de no máximo
Passo 1
Então, vamos resolver um exercício que envolve estatística, mais especificamente sobre como determinar o tamanho de uma amostra necessária para estimar a média de uma concentração com certa precisão e confiança. A gente tem uma amostra inicial de 36 produtos, onde a média da concentração da substância é de
e o desvio padrão é de
. Queremos saber qual deve ser o tamanho de uma nova amostra para que o erro de estimativa da média seja, no máximo,
com um nível de confiança de
.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o erro de estimativa da média. Ele representa a margem de erro que estamos dispostos a aceitar na nossa estimativa da média populacional. Nesse caso, queremos que esse erro seja no máximo
.
Passo 3
Para determinar o tamanho da amostra necessário (
), usamos a fórmula do erro de estimativa na construção de intervalos de confiança para a média. A fórmula é:
Onde:
-
é o erro de estimativa ( ), -
é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado, -
é o desvio padrão da população ( ), -
é o tamanho da amostra que queremos encontrar.
Passo 4
Primeiro, precisamos encontrar o valor de
para um nível de confiança de
. Esse valor corresponde a quantos desvios padrão a média está do valor crítico em uma distribuição normal padrão.
Para
de confiança,
é aproximadamente
.
Passo 5
Agora, substituímos os valores conhecidos na fórmula para resolver
:
Passo 6
Vamos isolar
:
Passo 7
Elevamos ambos os lados ao quadrado para encontrar
:
Passo 8
Como o tamanho da amostra deve ser um número inteiro e geralmente arredondamos para cima para garantir que o erro de estimativa não seja excedido, teremos:
Resposta
Portanto, para que o erro de estimativa da média seja, no máximo,
com um nível de confiança de
, o tamanho da nova amostra deve ser de 97 produtos.