Deseja-se estipular limites da concentração ( g / kg ) de uma determinada substância em certo produto. O fabricante seleciona uma amostra de tamanho 36 desse produto e avalia a concentração da substância. A análise descritiva revelou média de 250 g / kg e desvio padrão de 50 g / kg.
Construa um IC de 95 % para a variância populacional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer estabelecer um intervalo de confiança de 95% para a variância da concentração de uma substância em um produto. Para isso, a gente vai usar conceitos de Estatística, especificamente relacionados à distribuição qui-quadrado. Vamos precisar dos dados fornecidos: tamanho da amostra, média, desvio padrão e entender como aplicar a distribuição qui-quadrado para encontrar o intervalo desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Tamanho da amostra, $ n = 36 $
  • Média da amostra, $ \bar{x} = 250 , g/kg $ (esse valor não vai ser usado diretamente no cálculo da variância)
  • Desvio padrão da amostra, $ s = 50 , g/kg $
Como estamos falando de variância, a gente vai focar no desvio padrão $ s $ e no tamanho da amostra $ n $.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da teoria. Para construir um intervalo de confiança para a variância populacional $ \sigma^2 sigma^2 çã \chi^2 $). A fórmula do intervalo de confiança de 95% para a variância é:
chi^2
Onde:
  • $ n - 1 $ são os graus de liberdade, que no nosso caso será $ 35 $
  • $ s^2 $ é a variância da amostra
  • $ \chi^2_{\alpha/2} $ e $ \chi^2_{1 - \alpha/2} $ são os valores críticos da distribuição qui-quadrado para os níveis de confiança desejados

Passo 4

Vamos determinar os valores críticos $ \chi^2 $ para 35 graus de liberdade e nível de confiança de 95%. Para isso, consultamos uma tabela da distribuição qui-quadrado ou usamos uma calculadora estatística.
  • Para $ \chi^2_{0.025} $ com 35 graus de liberdade, aproximadamente $ 19.34 $
  • Para $ \chi^2_{0.975} $ com 35 graus de liberdade, aproximadamente $ 54.98 $

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula do intervalo de confiança:
(36 - 1) times 50^254.98 < sigma^2 < (36 - 1) times 50^219.34
Calculando:
35 times 250054.98 approx 8750054.98 approx 1592.98
e
35 times 250019.34 approx 8750019.34 approx 4520.21

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a variância populacional $ \sigma^2 $ é aproximadamente entre 1593 e 4520.21 $ g2/\text{kg}2 $.

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