Deseja-se extrair ácido acético de uma carga de 2000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}, contendo 40 \% em peso de ácido acético e 60% em água, em extração contracorrente com 3000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de éter isopropílico puro. O rafinado deve conter 3 \% em peso de ácido acético. Calcule o número de estágios necessários.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Carga (alimentação) de massa: F = 2000\\ \mathrm{kg/h}.
  • Composição da alimentação: 40\% em peso de ácido acético e 60\% em água. Logo a fração mássica do soluto na alimentação é \;x_F = 0{,}40.
  • Solvente fresco (éter isopropílico) alimentado: S = 3000\\ \mathrm{kg/h}, puro, isto é, sem ácido acético (fração mássica inicial no solvente igual a zero).
  • O rafinado (saída aquosa) deve conter 3\% em peso de ácido acético. Ou seja, x_R = 0{,}03.
  • Pede-se: calcular o número de estágios ideais em contracorrente necessários para atingir esse objetivo.
Nenhuma outra informação foi dada no enunciado (por exemplo, coeficiente de partição). A resolução seguirá a partir dos dados acima.

Passo 2

Escolha do método e hipóteses que vou usar (explico o porquê):
  • O problema trata de extração líquido–líquido em contracorrente com estágios ideais — o método mais direto é usar a fórmula conhecida para extração com coeficiente de partição constante (fórmula do tipo “Kremser” para extração). Esta é a abordagem padrão em provas e é a mais simples e robusta quando se pode assumir coeficiente constante.
  • O enunciado não fornece o coeficiente de partição m. Seguindo a regra de escolher métodos mais básicos quando falta informação, e porque o enunciado só deu massas e composições, vou adotar a hipótese simples e frequente em exercícios didáticos: coeficiente de partição constante m=1. Ou seja, na zona de equilíbrio a massa de ácido acético por unidade de massa de solvente é igual à massa por unidade de massa de fase aquosa: y = m x com m=1.
  • Também assumimos fases imiscíveis de modo que os vazões mássicas das fases (a fase aquosa F e a fase solvente S) são constantes ao longo dos estágios (hipótese padrão em exercícios).
  • Justificativa: sem m fornecido não temos alternativa numérica rigorosa; m=1 é a hipótese mais simples (aplicável em muitos exercícios) e leva a uma resposta prática. Se você tiver um valor diferente de m depois, o mesmo procedimento serve trocando o m e recalculando.
Se você preferir outra hipótese para m depois, a mesma sequência vale — só mudamos o número.

Passo 3

Conceitos e definições fundamentais (aula curta e prática)
  • Definição de x e y:
    • x = fração mássica do soluto (ácido acético) na fase aquosa (raffinate).
    • y = fração mássica do soluto na fase solvente (extract).
  • Coeficiente de partição (razão de distribuição) m:
    • Definimos \;m = \dfrac{y}{x} quando as duas fases estão em equilíbrio. Significado físico: para cada unidade de massa de soluto na fase aquosa haverá m vezes essa massa na fase solvente em equilíbrio.
  • Estágio ideal: em cada estágio as duas correntes saem em equilíbrio.
  • Hipóteses de vazões constantes: a vazão mássica da fase aquosa é F constante e a do solvente é S constante.

Passo 4

Equações de balanço de soluto e formulação recursiva (intuição antes da fórmula pronta)
  • Em contato contracorrente com N estágios ideais, existe uma relação entre x_F (fração do soluto na alimentação) e x_R (fração no rafinado) que depende de F, S, m e N.
  • A relação conhecida (fórmula “Kremser” para extração com coeficiente constante e solvente fresco sem soluto) é x_R = x_F \left(\dfrac{F}{F + m S}\right)^{N}.Vou explicar rapidamente a origem em termos simples:
    • Ao escrever os balanços por estágio e usar a condição de equilíbrio y=m x, obtém-se uma relação recursiva entre concentrações consecutivas que conduz a uma progressão geométrica das diferenças entre as concentrações. Somando essas diferenças e aplicando a condição de solvente fresco (entrada do solvente sem soluto) obtém-se a expressão acima. (Em provas é comum lembrar esta forma; se quiser depois eu detalho a derivação completa dos balanços passo a passo.)
  • Reescrevendo para encontrar N: \left(\dfrac{x_R}{x_F}\right) = \left(\dfrac{F}{F + m S}\right)^{N} \quad\Rightarrow\quad N = \dfrac{\ln\!\left(\dfrac{x_R}{x_F}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{F}{F + m S}\right)}.

Passo 5

Aplicando os números com a hipótese m=1
  • Dados em TeX: F = 2000\\ \mathrm{kg/h},\qquad S = 3000\\ \mathrm{kg/h},
x_F = 0{,}40,\qquad x_R = 0{,}03,\qquad m = 1.
  • Calculo do fator: \dfrac{F}{F + m S} = \dfrac{2000}{2000 + 1\cdot 3000} = \dfrac{2000}{5000} = 0{,}4.
  • Agora calcule N: N = \dfrac{\ln\!\left(\dfrac{x_R}{x_F}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{F}{F + m S}\right)} = \dfrac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}03}{0{,}40}\right)}{\ln(0{,}4)} = \dfrac{\ln(0{,}075)}{\ln(0{,}4)}.
  • Avaliando numericamente (faça na prova com log natural ou log10, desde que consistente): \ln(0{,}075)\approx -2{,}59027,\qquad \ln(0{,}4)\approx -0{,}91629,
N \approx \dfrac{-2{,}59027}{-0{,}91629}\approx 2{,}828.

Passo 6

Interpretação do valor de N e resposta inteira
  • O valor N\approx 2{,}828 significa que são necessários pouco menos de 2{,}828 estágios ideais para chegar a x_R=0{,}03 sob as hipóteses adotadas. Como o número de estágios deve ser inteiro e precisamos atingir ou superar o desempenho desejado, arredondamos para cima.
  • Logo o número mínimo de estágios inteiros necessários é 3 estágios ideais (sempre arredondar para cima em projetos de etapas discretas).

Resposta

3 estágios

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