Uma coluna de destilação separa uma solução aquosa de etanol a pressão de 1 atm . A carga possui
molar de etanol e tem uma taxa de
e é vapor superaquecido onde 1 mol de líquido deve vaporizar na coluna para 10 moles de alimentação. O produto destilado e o produto de fundo tem as composições de
molar e
molar em etanol, respectivamente. O refluxo no topo é saturado e igual a 3 e a coluna está equipada com um condensador total e um refervedor parcial. Encontre a localização ótima da carga e o número total de estágios teóricos.
Passo 1
Vou resumir cuidadosamente o que o enunciado dá e o que ele pede, e apontar informação ambígua ou que falta.
Dados explícitos do enunciado:
Dados ambíguos / observação crítica:
- O enunciado diz que a alimentação “é vapor superaquecido” — isto implica que a qualidade térmica da alimentação corresponde a
(no jargão, feed superaquecida → é necessário condensar parte do vapor para atingir a linha de bolha). - Há uma frase confusa: “onde 1 mol de líquido deve vaporizar na coluna para 10 moles de alimentação.” Não está claro se querem dizer que, por cada 10 mol de alimentação, 1 mol de líquido precisa vaporizar (o que daria
), OU se, por serem superaquecidos, na verdade 1 mol de vapor precisa condensar para 10 mol de alimentação (o que daria ). Essas duas interpretações dão valores de muito diferentes e mudam a inclinação da q‑line. - Informação essencial que NÃO foi fornecida: a curva de equilíbrio vapor–líquido (VLE) para a mistura etanol–água a 1 atm, ou a volatilidade relativa média
. Sem a curva de equilíbrio (ou ) não é possível obter numericamente o número de estágios teóricos pelo método gráfico de McCabe–Thiele nem achar precisamente a localização ótima da carga. Portanto é impossível dar um número de estágios final numérico sem essa informação.
O que o enunciado pede:
- Encontrar a localização ótima da alimentação (em que estágio inserir a carga).
- Encontrar o número total de estágios teóricos da coluna.
Observação final do passo 1: como a curva de equilíbrio não foi fornecida, eu não posso calcular numericamente o número de estágios nem plotar graficamente as curvas necessárias. A seguir eu explico passo a passo o método correto (didaticamente) e mostro como proceder assim que você tiver ou aceitar uma curva de equilíbrio / volatilidade relativa; também esclareço as duas interpretações possíveis do dado ambíguo sobre “1 mol … para 10 moles” e calculo o correspondente
para cada caso.
Passo 2
Conceitos essenciais e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).
Vou explicar tudo com calma e sem pular etapas.
Vou explicar tudo com calma e sem pular etapas.
- O que é
?
- Definição:
é a fração molar da alimentação que entra como líquido saturado quando ajustada à temperatura de bolha (é a fração líquida “efetiva” do fluxo de alimentação). Em termos práticos: -
→ alimentação como líquido saturado, -
→ alimentação como vapor saturado, -
→ alimentação sub-resfriada (maior fração líquida), -
→ alimentação superaquecida (algum vapor precisa condensar para atingir a curva de bolha).
-
- A q‑line (reta de alimentação) no diagrama
vs tem equação:
Aqui
é a fração molar do componente volátil (etanol) na fase líquida e
é na fase vapor;
é composição da alimentação.
- Linhas de operação:
- Linha de operação na região de retificação (acima da alimentação), para refluxo
:
Explicação: vem do balanço de componente e balanço total na seção superior;
é razão refluxo
.
- Linha de operação na região de estripagem (abaixo da alimentação): normalmente obtida encontrando a interseção entre a q‑line e a linha de retificação e traçando a reta que liga esse ponto de interseção a
. Em prática, a equação da linha de estripagem não é tão usada em forma fechada aqui — procedemos graficamente unindo o ponto ao ponto de interseção feed/retificação.
- Curva de equilíbrio (essencial):
- A curva
relaciona a composição de vapor em equilíbrio com uma composição líquida . No método de McCabe–Thiele, essa curva é usada para dar os “passos” estágios-por-estágios (degraus) entre a linha e as linhas de operação. - Sem essa curva não há como fazer o passo-a-passo e contar o número de estágios. Alternativa numérica: se a volatilidade relativa
for razoavelmente constante, a relação de equilíbrio Raoult/Lei de Dalton para mistura ideal binária é
onde
é a volatilidade relativa (constante média). Mas atenção:
deve ser fornecida ou estimada a partir de dados experimentais a 1 atm; sem isso, qualquer número de estágios será apenas uma suposição.
- Critério de “localização ótima da alimentação”:
- Na prática, a alimentação deve ser colocada no estágio onde, ao fazer o passo-a-passo de McCabe–Thiele (de
até ), ocorre a troca de passos entre a linha de retificação e a linha de estripagem — isto é, o estágio onde o perfil de concentrações “salta” através da q‑line. Esse estágio é o “estágio de alimentação” (feed stage). - “Ótimo” geralmente refere-se a colocar a alimentação no estágio em que a separação acima e abaixo da alimentação fica equilibrada (minimiza número total de estágios para a dada razão de refluxo). Graficamente, é o estágio onde a trajetória dos degraus cruza a q‑line: todos os degraus acima correspondem a estágios de retificação; os abaixo, a estágios de estripagem.
- Portanto, para achar a localização ótima há que construir o diagrama completo (equilíbrio + linhas de operação + q‑line) e contar os degraus; o degrau que cruza a q‑line é o estágio de alimentação. Não há fórmula fechada para o número exato do estágio sem o diagrama (ou sem integração numérica com a curva de equilíbrio).
Passo 3
Como calcular
a partir da frase ambígua e interpretação física — faço as duas interpretações possíveis (expliquei por que).
- Interpretação A (compatível com “1 mol de líquido deve vaporizar para 10 moles de alimentação”): isto significa que, ao entrar, 1 mol precisa vaporizar — isto sugere que a alimentação contém mais líquido e que, ao ajustar à curva de bolha, ainda resta líquido que precisa evaporar. Dessa interpretação, a fração líquida efetiva é
(Valor típico para uma alimentação principalmente líquida.)
- Interpretação B (compatível com “alimentação é vapor superaquecido” e a frase sendo invertida em sentido físico): supondo que, por ser superaquecida, é necessário condensar
mol de vapor por mol de alimentação para trazer à condição de saturação — isto significa que a alimentação tem excesso de vapor e a fração líquida efetiva é negativa. Nesse caso:
(Raciocínio: “1 mol de vapor tem que ser removido/condensado por 10 mol de alimentação” → indicativo de
.)
Observação didática: o sinal de
indica se se precisa evaporar algo dentro da coluna (
) ou se é preciso condensar parte (
). Como o enunciado diz explicitamente “é vapor superaquecido”, a interpretação fisicamente consistente é a B, ou seja
. Mas o enunciado textual sobre “1 mol … vaporizar” contradiz isso, por isso deixei explícitas ambas as interpretações.
Passo 4
Passo-a-passo prático (como você faz na prova assim que tiver a curva de equilíbrio). Vou descrever cada etapa que você teria que executar, com fórmulas e como contar estágios — estilo “receita de prova” que você pediu.
- Defina a q‑line:
- Calcule
(veja passo 3). Use a equação
-
Trace a diagonal
no diagrama vs . -
Trace a curva de equilíbrio
(dados experimentais ou a relação com ):
- Se você tem
constante média, use
- Se tem tabela de VLE, trace a curva com os pontos dados.
- Trace a linha de operação da seção de retificação (topo) usando
- Com
isso vira
porque
e
.
-
Encontre o ponto de interseção entre a linha de retificação e a q‑line — chame esse ponto de coord.
. Este é o ponto onde as duas seções se encontram graficamente. -
Trace a linha de operação da seção de estripagem unindo
a . (Na construção de McCabe–Thiele é o procedimento padrão.) -
Realize o procedimento de degraus (staircase) entre
(na linha de retificação) e (na linha de estripagem):
- Comece em
na linha de retificação: no ponto . - Vá verticalmente até a curva de equilíbrio
(isto move você para com tal que ). - A partir desse ponto, vá horizontalmente até a linha de retificação/estripagem correspondente (dependendo se está acima ou abaixo do ponto de alimentação).
- Repita esse “vertical → horizontal” até atingir
. - O número de trechos verticais (ou horizontais) que você contou corresponde ao número de estágios teóricos (contando o estágio de retificação superficial e o estágio do refervedor conforme a convenção usada). Normalmente você conta os degraus até cruzar a linha
e inclui o refervedor como um estágio teórico final.
- Localização ótima da alimentação:
- Durante os degraus, identifique o degrau que cruza a q‑line; o estágio correspondente a esse degrau é o estágio de alimentação.
- Esse é o local “ótimo” para inserir a alimentação para o dado refluxo, pois é onde as seções retificadora e estripadora se separam no diagrama.
Passo 5
Como obter o número de estágios numericamente (se você trouxer dados de VLE ou assumir
): exemplo de procedimento numérico sem desenho.
- Se você só tem
constante, construa a curva pela fórmula
- Use as equações das linhas de operação (retificação e estripagem) e da q‑line; resolva numericamente as interseções para obter coordenadas dos “pontos de volta” dos degraus (cada ponto vertical satisfaz
e cada ponto horizontal satisfaz tal que igual à linha de operação, etc.). É um processo iterativo (fácil para implementar em planilha), mas sem ou tabela VLE não há números.
Passo 6
Observações práticas e dicas de prova (motivação e confiança):
- Dica 1: se em prova não for dada curva de equilíbrio, o enunciado normalmente fornece a volatilidade relativa média
ou uma equação VLE. Sem qualquer uma dessas coisas você deve declarar que não é possível calcular numericamente os estágios. - Dica 2: se for permitido assumir uma
(comum para etanol‑água a 1 atm é assumir entre e dependendo da faixa de composição), explique e justifique a suposição; então proceda com McCabe–Thiele usando a fórmula de . - Dica 3: como você pediu uma solução mastigada: no exame, desenhe primeiro a diagonal
, a curva de equilíbrio (ou sua suposição) e a linha de retificação (com o intercepto será e a inclinação ). Em seguida desenhe a q‑line (com o que você definir), localize a interseção e trace a linha de estripagem. Conte os degraus. Calcule e marque o estágio onde cruza a q‑line — esse é o estágio de alimentação.
Passo 7
Resumo: o que podemos afirmar numericamente já agora e o que não temos como afirmar.
- O valor da inclinação e intercepto da linha de retificação já podem ser escritos numericamente:
Isto é exato com os dados fornecidos (
).
-
O valor de
depende da interpretação: - Se interpretarmos literalmente “1 mol de líquido deve vaporizar para 10 de alimentação”, obtemos
. - Se interpretarmos de forma consistente com “alimentação é vapor superaquecido” e que 1 mol de vapor precisa condensar por 10 mol de alimentação, obtemos
. Esta última é a interpretação fisicamente coerente com a expressão “vapor superaquecido” e eu recomendaria adotá‑la salvo instrução contrária.
- Se interpretarmos literalmente “1 mol de líquido deve vaporizar para 10 de alimentação”, obtemos
-
Mas: para obter numericamente o número de estágios totais e a posição ótima da carga é obrigatório ter a curva de equilíbrio
(ou ). Sem ela NÃO há como calcular numericamente esses resultados.
Resposta
Não é possível determinar numericamente o número total de estágios teóricos nem a posição ótima da alimentação sem a curva de equilíbrio (VLE) para etanol‑água a 1 atm ou a volatilidade relativa média
.
A linha de retificação é .
A qualidade de alimentação depende da interpretação do enunciado:
(interpretação consistente com “alimentação superaquecida”) ou alternativamente
(interpretação literal da frase ambígua).
A linha de retificação é
A qualidade de alimentação