Uma coluna de destilação separa uma solução aquosa de etanol a pressão de 1 atm . A carga possui 40 \% molar de etanol e tem uma taxa de 100 \mathrm{kgmoles} / \mathrm{h} e é vapor superaquecido onde 1 mol de líquido deve vaporizar na coluna para 10 moles de alimentação. O produto destilado e o produto de fundo tem as composições de 72 \% molar e 2 \% molar em etanol, respectivamente. O refluxo no topo é saturado e igual a 3 e a coluna está equipada com um condensador total e um refervedor parcial. Encontre a localização ótima da carga e o número total de estágios teóricos.

Passo 1

Vou resumir cuidadosamente o que o enunciado dá e o que ele pede, e apontar informação ambígua ou que falta.
Dados explícitos do enunciado:
\begin{aligned} &\text{Vazão de alimentação: }100\\ \mathrm{kmol/h}.\\\ &\text{Composição da alimentação (etanol, molar): } z_F = 0{,}40.\\\ &\text{Composição do destilado (topo): } x_D = 0{,}72.\\\ &\text{Composição do fundo (bottoms): } x_B = 0{,}02.\\\ &\text{Pressão: }1\\ \text{atm (informação de VLE relevante).}\\\ &\text{Refluxo (razão): }R = 3\\ (\text{o refluxo no topo é saturado e igual a 3}).\\\ &\text{Condensador total e refervedor parcial (coluna típica).} \end{aligned}ãçãçãçãçãçããçããéí
Dados ambíguos / observação crítica:
  • O enunciado diz que a alimentação “é vapor superaquecido” — isto implica que a qualidade térmica da alimentação corresponde a q<0 (no jargão, feed superaquecida → é necessário condensar parte do vapor para atingir a linha de bolha).
  • Há uma frase confusa: “onde 1 mol de líquido deve vaporizar na coluna para 10 moles de alimentação.” Não está claro se querem dizer que, por cada 10 mol de alimentação, 1 mol de líquido precisa vaporizar (o que daria q=0{,}9), OU se, por serem superaquecidos, na verdade 1 mol de vapor precisa condensar para 10 mol de alimentação (o que daria q=-0{,}1). Essas duas interpretações dão valores de q muito diferentes e mudam a inclinação da q‑line.
  • Informação essencial que NÃO foi fornecida: a curva de equilíbrio vapor–líquido (VLE) para a mistura etanol–água a 1 atm, ou a volatilidade relativa média \alpha. Sem a curva de equilíbrio (ou \alpha) não é possível obter numericamente o número de estágios teóricos pelo método gráfico de McCabe–Thiele nem achar precisamente a localização ótima da carga. Portanto é impossível dar um número de estágios final numérico sem essa informação.
O que o enunciado pede:
  • Encontrar a localização ótima da alimentação (em que estágio inserir a carga).
  • Encontrar o número total de estágios teóricos da coluna.
Observação final do passo 1: como a curva de equilíbrio não foi fornecida, eu não posso calcular numericamente o número de estágios nem plotar graficamente as curvas necessárias. A seguir eu explico passo a passo o método correto (didaticamente) e mostro como proceder assim que você tiver ou aceitar uma curva de equilíbrio / volatilidade relativa; também esclareço as duas interpretações possíveis do dado ambíguo sobre “1 mol … para 10 moles” e calculo o correspondente q para cada caso.

Passo 2

Conceitos essenciais e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).
Vou explicar tudo com calma e sem pular etapas.
  1. O que é q?
  • Definição: q é a fração molar da alimentação que entra como líquido saturado quando ajustada à temperatura de bolha (é a fração líquida “efetiva” do fluxo de alimentação). Em termos práticos:
    • q=1 → alimentação como líquido saturado,
    • q=0 → alimentação como vapor saturado,
    • q>1 → alimentação sub-resfriada (maior fração líquida),
    • q<0 → alimentação superaquecida (algum vapor precisa condensar para atingir a curva de bolha).
  • A q‑line (reta de alimentação) no diagrama y vs x tem equação:
y = \frac{q}{q-1}\,x - \frac{z_F}{q-1}.
Aqui x é a fração molar do componente volátil (etanol) na fase líquida e y é na fase vapor; z_F é composição da alimentação.
  1. Linhas de operação:
  • Linha de operação na região de retificação (acima da alimentação), para refluxo R:
y = \frac{R}{R+1}\,x + \frac{x_D}{R+1}.
Explicação: vem do balanço de componente e balanço total na seção superior; R é razão refluxo L/D.
  • Linha de operação na região de estripagem (abaixo da alimentação): normalmente obtida encontrando a interseção entre a q‑line e a linha de retificação e traçando a reta que liga esse ponto de interseção a (x_B,x_B). Em prática, a equação da linha de estripagem não é tão usada em forma fechada aqui — procedemos graficamente unindo o ponto (x_B,x_B) ao ponto de interseção feed/retificação.
  1. Curva de equilíbrio (essencial):
  • A curva y^\ast(x) relaciona a composição de vapor y em equilíbrio com uma composição líquida x. No método de McCabe–Thiele, essa curva é usada para dar os “passos” estágios-por-estágios (degraus) entre a linha y=x e as linhas de operação.
  • Sem essa curva não há como fazer o passo-a-passo e contar o número de estágios. Alternativa numérica: se a volatilidade relativa \alpha for razoavelmente constante, a relação de equilíbrio Raoult/Lei de Dalton para mistura ideal binária é
y = \frac{\alpha x}{1 + (\alpha -1)x},
onde \alpha é a volatilidade relativa (constante média). Mas atenção: \alpha deve ser fornecida ou estimada a partir de dados experimentais a 1 atm; sem isso, qualquer número de estágios será apenas uma suposição.
  1. Critério de “localização ótima da alimentação”:
  • Na prática, a alimentação deve ser colocada no estágio onde, ao fazer o passo-a-passo de McCabe–Thiele (de x_D até x_B), ocorre a troca de passos entre a linha de retificação e a linha de estripagem — isto é, o estágio onde o perfil de concentrações “salta” através da q‑line. Esse estágio é o “estágio de alimentação” (feed stage).
  • “Ótimo” geralmente refere-se a colocar a alimentação no estágio em que a separação acima e abaixo da alimentação fica equilibrada (minimiza número total de estágios para a dada razão de refluxo). Graficamente, é o estágio onde a trajetória dos degraus cruza a q‑line: todos os degraus acima correspondem a estágios de retificação; os abaixo, a estágios de estripagem.
  • Portanto, para achar a localização ótima há que construir o diagrama completo (equilíbrio + linhas de operação + q‑line) e contar os degraus; o degrau que cruza a q‑line é o estágio de alimentação. Não há fórmula fechada para o número exato do estágio sem o diagrama (ou sem integração numérica com a curva de equilíbrio).

Passo 3

Como calcular q a partir da frase ambígua e interpretação física — faço as duas interpretações possíveis (expliquei por que).
  • Interpretação A (compatível com “1 mol de líquido deve vaporizar para 10 moles de alimentação”): isto significa que, ao entrar, 1 mol precisa vaporizar — isto sugere que a alimentação contém mais líquido e que, ao ajustar à curva de bolha, ainda resta líquido que precisa evaporar. Dessa interpretação, a fração líquida efetiva é
q = \frac{\text{mol de líquido efetivo}}{\text{mol total}} = \frac{9}{10} = 0{,}9.í
(Valor típico para uma alimentação principalmente líquida.)
  • Interpretação B (compatível com “alimentação é vapor superaquecido” e a frase sendo invertida em sentido físico): supondo que, por ser superaquecida, é necessário condensar 1 mol de vapor por 10 mol de alimentação para trazer à condição de saturação — isto significa que a alimentação tem excesso de vapor e a fração líquida efetiva q é negativa. Nesse caso:
q = -0{,}1.
(Raciocínio: “1 mol de vapor tem que ser removido/condensado por 10 mol de alimentação” → indicativo de q=-0{,}1.)
Observação didática: o sinal de q indica se se precisa evaporar algo dentro da coluna ( q>0) ou se é preciso condensar parte ( q<0). Como o enunciado diz explicitamente “é vapor superaquecido”, a interpretação fisicamente consistente é a B, ou seja q<0. Mas o enunciado textual sobre “1 mol … vaporizar” contradiz isso, por isso deixei explícitas ambas as interpretações.

Passo 4

Passo-a-passo prático (como você faz na prova assim que tiver a curva de equilíbrio). Vou descrever cada etapa que você teria que executar, com fórmulas e como contar estágios — estilo “receita de prova” que você pediu.
  1. Defina a q‑line:
  • Calcule q (veja passo 3). Use a equação
y = \frac{q}{q-1}\,x - \frac{z_F}{q-1}.
  1. Trace a diagonal y=x no diagrama y vs x.
  2. Trace a curva de equilíbrio y^\ast(x) (dados experimentais ou a relação com \alpha):
  • Se você tem \alpha constante média, use
y = \frac{\alpha x}{1 + (\alpha -1)x}.
  • Se tem tabela de VLE, trace a curva com os pontos dados.
  1. Trace a linha de operação da seção de retificação (topo) usando
y = \frac{R}{R+1}\,x + \frac{x_D}{R+1}.
  • Com R=3 isso vira
y = \frac{3}{4}\,x + \frac{x_D}{4} = 0{,}75\,x + 0{,}18
porque x_D=0{,}72 e 0{,}72/4 = 0{,}18.
  1. Encontre o ponto de interseção entre a linha de retificação e a q‑line — chame esse ponto de coord. (x_q,y_q). Este é o ponto onde as duas seções se encontram graficamente.
  2. Trace a linha de operação da seção de estripagem unindo (x_B,x_B) a (x_q,y_q). (Na construção de McCabe–Thiele é o procedimento padrão.)
  3. Realize o procedimento de degraus (staircase) entre x_D (na linha de retificação) e x_B (na linha de estripagem):
  • Comece em x=x_D na linha de retificação: no ponto (x_D,y_{ret}(x_D)).
  • Vá verticalmente até a curva de equilíbrio y^\ast(x) (isto move você para (x_1,y^\ast(x_1)) com x_1 tal que y^\ast(x_1)=y_{ret}(x_D)).
  • A partir desse ponto, vá horizontalmente até a linha de retificação/estripagem correspondente (dependendo se está acima ou abaixo do ponto de alimentação).
  • Repita esse “vertical → horizontal” até atingir x_B.
  • O número de trechos verticais (ou horizontais) que você contou corresponde ao número de estágios teóricos (contando o estágio de retificação superficial e o estágio do refervedor conforme a convenção usada). Normalmente você conta os degraus até cruzar a linha x_B e inclui o refervedor como um estágio teórico final.
  1. Localização ótima da alimentação:
  • Durante os degraus, identifique o degrau que cruza a q‑line; o estágio correspondente a esse degrau é o estágio de alimentação.
  • Esse é o local “ótimo” para inserir a alimentação para o dado refluxo, pois é onde as seções retificadora e estripadora se separam no diagrama.

Passo 5

Como obter o número de estágios numericamente (se você trouxer dados de VLE ou assumir \alpha): exemplo de procedimento numérico sem desenho.
  • Se você só tem \alpha constante, construa a curva y^\ast(x) pela fórmula
y^\ast(x)=\frac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x}.
  • Use as equações das linhas de operação (retificação e estripagem) e da q‑line; resolva numericamente as interseções para obter coordenadas dos “pontos de volta” dos degraus (cada ponto vertical satisfaz y_{op}(x_i)=y^\ast(x_{i+1}) e cada ponto horizontal satisfaz x_{i+1} tal que y^\ast(x_{i+1}) igual à linha de operação, etc.). É um processo iterativo (fácil para implementar em planilha), mas sem \alpha ou tabela VLE não há números.

Passo 6

Observações práticas e dicas de prova (motivação e confiança):
  • Dica 1: se em prova não for dada curva de equilíbrio, o enunciado normalmente fornece a volatilidade relativa média \alpha ou uma equação VLE. Sem qualquer uma dessas coisas você deve declarar que não é possível calcular numericamente os estágios.
  • Dica 2: se for permitido assumir uma \alpha (comum para etanol‑água a 1 atm é assumir \alpha entre 2{,}0 e 3{,}0 dependendo da faixa de composição), explique e justifique a suposição; então proceda com McCabe–Thiele usando a fórmula de y^\ast(x).
  • Dica 3: como você pediu uma solução mastigada: no exame, desenhe primeiro a diagonal y=x, a curva de equilíbrio (ou sua suposição) e a linha de retificação (com R=3 o intercepto será x_D/(R+1)=0{,}18 e a inclinação 0{,}75). Em seguida desenhe a q‑line (com o q que você definir), localize a interseção e trace a linha de estripagem. Conte os degraus. Calcule e marque o estágio onde cruza a q‑line — esse é o estágio de alimentação.

Passo 7

Resumo: o que podemos afirmar numericamente já agora e o que não temos como afirmar.
  • O valor da inclinação e intercepto da linha de retificação já podem ser escritos numericamente:
\text{linha de retificação: } y = 0{,}75\,x + 0{,}18.çã
Isto é exato com os dados fornecidos ( R=3, x_D=0{,}72).
  • O valor de q depende da interpretação:
    • Se interpretarmos literalmente “1 mol de líquido deve vaporizar para 10 de alimentação”, obtemos q=0{,}9.
    • Se interpretarmos de forma consistente com “alimentação é vapor superaquecido” e que 1 mol de vapor precisa condensar por 10 mol de alimentação, obtemos q=-0{,}1. Esta última é a interpretação fisicamente coerente com a expressão “vapor superaquecido” e eu recomendaria adotá‑la salvo instrução contrária.
  • Mas: para obter numericamente o número de estágios totais e a posição ótima da carga é obrigatório ter a curva de equilíbrio y^\ast(x) (ou \alpha). Sem ela NÃO há como calcular numericamente esses resultados.

Resposta

Não é possível determinar numericamente o número total de estágios teóricos nem a posição ótima da alimentação sem a curva de equilíbrio (VLE) para etanol‑água a 1 atm ou a volatilidade relativa média \alpha.
A linha de retificação é y=0{,}75x+0{,}18.
A qualidade de alimentação q depende da interpretação do enunciado: q=-0{,}1 (interpretação consistente com “alimentação superaquecida”) ou alternativamente q=0{,}9 (interpretação literal da frase ambígua).

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