Deseja-se fazer uma embalagem de 1 litro na forma de um cilindro circular reto. O preço do material usado para fazer o fundo e a tampa da embalagem é 3 centavos por centímetro quadrado e o do material usado para fazer a parte lateral é 2 centavos o centímetro quadrado. Determine as dimensòes (em cm) da embalagem para que o custo total do material seja o menor possível?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as dimensões de um cilindro de volume 1 L (=1000 cm³) que minimizem o custo do material, sabendo que o material do fundo e da tampa custa 3 cêntimos/cm² e o da lateral 2 cêntimos/cm². O conteúdo é otimização de função com restrição de volume e vamos precisar usar cálculo de derivadas para achar o mínimo.

Passo 2

Vamos chamar de r o raio da base e de h a altura do cilindro. A restrição de volume é dado por
pi r^2 h = 1000
O custo total C é a soma do custo das duas bases e da lateral. A área das duas bases é 2pi r^2 e custa 3 cêntimos/cm², e a área lateral é 2pi r h e custa 2 cêntimos/cm², então:
C(r,h) = 3 cdot (2pi r^2) + 2 cdot (2pi r h) = 6pi r^2 + 4pi r h

Passo 3

Para eliminar h, usamos a restrição de volume e isolamos h:
h = 1000pi r^2
Substituindo em C(r,h) obtemos uma função de uma variável:
C(r) = 6pi r^2 + 4pi r cdot 1000pi r^2 = 6pi r^2 + 4000r

Passo 4

Agora calculamos a derivada de C(r) em relação a r e igualamos a zero para achar o ponto crítico:
C'(r) = 12pi r - 4000r^2 = 0
Logo:
12pi r^3 = 4000
r^3 = 400012pi = 10003pi
r = raiz[3]10003pi approx 4,74 cm

Passo 5

Para encontrar h, voltamos à expressão de h:
h = 1000pi r^2 approx 1000pi (4,74)^2 approx 14,2 cm
Verificamos que a segunda derivada C''(r)=12pi+8000/r^3>0, confirmando mínimo.

Passo 6

Portanto, as dimensões que minimizam o custo são raio de aproximadamente 4,74 cm e altura de aproximadamente 14,2 cm.

Resposta

Raio r approx 4,74 cm e altura h approx 14,2 cm.

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