Deseja-se fazer uma embalagem de 1 litro na forma de um cilindro circular reto. O preço do material usado para fazer o fundo e a tampa da embalagem é 3 centavos por centímetro quadrado e o do material usado para fazer a parte lateral é 2 centavos o centímetro quadrado. Determine as dimensòes (em cm) da embalagem para que o custo total do material seja o menor possível?
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as dimensões de um cilindro de volume 1 L (=1000 cm³) que minimizem o custo do material, sabendo que o material do fundo e da tampa custa 3 cêntimos/cm² e o da lateral 2 cêntimos/cm². O conteúdo é otimização de função com restrição de volume e vamos precisar usar cálculo de derivadas para achar o mínimo.
Passo 2
Vamos chamar de
o raio da base e de
a altura do cilindro. A restrição de volume é dado por
O custo total
é a soma do custo das duas bases e da lateral. A área das duas bases é
e custa 3 cêntimos/cm², e a área lateral é
e custa 2 cêntimos/cm², então:
Passo 3
Para eliminar
, usamos a restrição de volume e isolamos
:
Substituindo em
obtemos uma função de uma variável:
Passo 4
Agora calculamos a derivada de
em relação a
e igualamos a zero para achar o ponto crítico:
Logo:
Passo 5
Para encontrar
, voltamos à expressão de
:
Verificamos que a segunda derivada
, confirmando mínimo.
Passo 6
Portanto, as dimensões que minimizam o custo são raio de aproximadamente 4,74 cm e altura de aproximadamente 14,2 cm.
Resposta
Raio
e altura
.