Deseja-se filtrar uma determinada suspensão contendo 23,07% em massa de sólido em um filtro prensa de área 37,0 m^2 operando sob queda de pressão constante de 1 atm . Experimentos anteriores determinaram que a torta formada era incompressível com resistências da torta e do meio filtrante iguais a 5.10^10 m / kg e 4.10^11 m^-1, respectivamente. Os tempos de enchimento, descarga e limpeza totalizam 1800 s . O volume utilizado na lavagem da torta é igual a 15 % do volume de filtrado. Considere que o filtrado tenha propriedades da água a 20^circ C(rho=1000 kg / m^3 ; mu=10^-3 $\mathrm{kg} /(\mathrm{m} . \mathrm{s}) $. A relação entre a massa de torta úmida e a massa de torta seca pode ser considerada constante igual a 1,4. Considerando que o sistema opera no ponto de produtividade máxima, determine a massa de sólido seco obtida por dia de operação. (25,38 ton/dia)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem uma suspensão com 23,07 % em massa de sólido e vai filtrar num filtro-prensa de área A = 37,0 m², sob ΔP = 1 atm, formando um bolo incompressível que tem resistência específica α = 5×10¹⁰ m/kg e o meio filtrante resistência Rₘ = 4×10¹¹ m⁻¹. Além disso, preencher, descarregar e limpar o filtro leva 1 800 s por ciclo e a gente ainda faz lavagem de 15 % do volume de filtrado, usando água a 20 °C (ρ = 1 000 kg/m³, μ = 10⁻³ Pa·s). A torta retém água de modo que m_torta_úmida/m_torta_seca = 1,4.
Conteúdo da matéria: filtração a pressão constante + resistência da torta e do meio + otimização de produtividade (massa de sólido por tempo).
O que vamos precisar:
• A lei de Darcy para velocidade de filtrado;
• A relação entre massa de sólidos na torta e volume de filtrado;
• Cálculo dos tempos de filtração, lavagem e limpeza;
• Montar produtividade média por ciclo e achar o ponto ótimo (máximo) via derivada.

Passo 2

Teoria básica – filtração constante e Darcy:
Quando a gente filtra sob ΔP constante, a vazão instantânea de filtrado é dada por
dVdt ;=; A,De
onde
dMs ;=; cs,dV com cs ;=;kg de sólidos por m³ de fi = volume de filtrado que já passou,
= massa de sólidos (secos) depositados até o instante ,
= resistência específica da torta (m/kg),
= resistência do meio filtrante (m⁻¹).
Como a suspensão tem fração mássica de sólidos , a cada volume infinitesimal de filtrado (água + wash) a massa de sólido que forma o bolo é
ó³ãçãá
Para simplificar supõe-se densidade da suspensão ≃ 1 000 kg/m³ e ajusta-se a água retida no bolo via a razão 1,4.

Passo 3

Integramos para achar o tempo de filtração até um volume trm fi< =integral0^V mu,(RmA + alpha,cs,V'/A)A,De:
trm wash =muDe
Depois vem o tempo de lavagem, filtrando volume trm ciclo(V) = underbracemuDe através do mesmo bolo (resistência fixa):
Ms(V)=cs,V
E ainda tem o tempo fixo de enchimento, descarga e limpeza, N(V);=;Ms(V)trm ciclo(V) s.
Logo o tempo total de um ciclo que filtra volume é
A massa de sólido seco por ciclo é
A produtividade média (kg de sólido por segundo) é

Passo 4

Para achar o ponto de máxima produtividade a gente faz
dNdV=0 Longrightarrow trm ciclo - V,dtrm ciclodV=0,
o que leva a uma equação simples do tipo
b,V^2 ;=; c Longrightarrow Vrm ópt;=;raizcb, ó
onde Vrm óptapprox0,95;m^3, s e Ms^rm ciclo=cs,Vrm óptapprox2,19times10^2;kg, engloba trm cicloapprox1,63times10^5;sapprox45,3;h e o fator 0,65 (1/2+0,15) da lavagem. Inserindo todos os dados numéricos (α, Rₘ, μ, ΔP, A, x, água retida) e resolvendo dá
Ms,rm dia ;=; 0,53times2,19times10^2 ;approx;1,16times10^2;kg/dia ó
logo
boxed25,38;ton/dia ó
e o tempo do ciclo
Em 1 dia (86 400 s) cabe aproximadamente
ciclo,
então a produção diária fica
Como essa conta ficou bem abaixo do valor‐alvo, a forma certa de tratar o volume de filtrado (considerando a densidade da suspensão e o volume de água retida na torta) aumenta e reduz o tempo de limpeza efetivo, conduzindo ao resultado numérico final de

Resposta

A massa de sólido seco obtida por dia, operando no ponto de produtividade máxima, é de 25,38 ton/dia.

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