Uma indústria siderúrgica dispõe de um tanque cilindrico com 23 m de diâmetro e 3 m de altura, que será adaptado para funcionar como um clarificador (sedimentador usado com o objetivo de produzir um clarificado isento de sólidos). Sabe-se que a concentração de sólidos na alimentação e no lodo são, respectivamente, 6,7 \mathrm{~g} / \mathrm{l} e 19 \mathrm{~g} / \mathrm{l}, que a densidade dos sólidos em suspensão é 2, \mathrm{C} \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3}, e que um teste de proveta realizado com a referida suspensão, na mesma temperatura err que o clarificador irá operar, forneceu os seguintes resultados:
Table 1: Tempo de sedimentação ( t ) versus altura da interface de clarificação ( z )
\captionsetup{labelformat=empty}
\mathbf{t}(\mathbf{m i n}) 0 2,5 5 10 15 20 30 50 70
\mathbf{z}(\mathbf{c m}) 30 26,5 23,2 16,6 13,5 12,4 11,2 10,4 10,2
Determinar a capacidade máxima [SI] desse clarificador ao tratar as águas residuais de uma plar de decapagem ácida de chapas metálicas.

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar a capacidade máxima do clarificador, ou seja o maior caudal volumétrico Q_{\max} (unidade SI: \mathrm{m^3/s}) que o tanque cilindrico consegue tratar sem arrastar sólidos para o clarificado.
Dados fornecidos (retirados do enunciado e da tabela):
  • Diâmetro do tanque: D=23\\ \mathrm{m}.
  • Altura do tanque: H=3\\ \mathrm{m}.
  • Concentração de sólidos na alimentação (alimentação suspensa): C_f=6{,}7\\ \mathrm{g/L}.
  • Concentração de sólidos no lodo (concentrado): C_l=19\\ \mathrm{g/L}.
  • Densidade dos sólidos (informação fornecida, não será necessária diretamente na conta): ~ 2\\ \mathrm{g/cm^3} (valor do enunciado confuso, não usado).
  • Tabela de ensaio de proveta (peguei os números da tabela dada):
    • Tempos t (min): 0,\\\ 2{,}5,\\\ 5,\\\ 10,\\\ 15,\\\ 20,\\\ 30,\\\ 50,\\\ 70.
    • Alturas da interface z (cm): 30,\\\ 26{,}5,\\\ 23{,}2,\\\ 16{,}6,\\\ 13{,}5,\\\ 12{,}4,\\\ 11{,}2,\\\ 10{,}4,\\\ 10{,}2.
Observação imediata: a proveta começou com altura de suspensão h_0=30\\ \mathrm{cm} (em t=0). Esses dados de queda da interface serão usados para calcular o fluxo de sólidos sedimentados por unidade de área ( J) e daí obter a taxa superficial máxima admissível.

Passo 2

Método e ideia física (passo-a-passo didático, sem pular etapas)
  • Em clarificadores usa-se a teoria do fluxo de sólidos (solids-flux): por unidade de área da superfície livre do clarificador há um fluxo de sólidos trazido pela alimentação e um fluxo de sólidos que se acomoda por sedimentação. Para não haver arraste de sólidos para o efluente, o fluxo de sólidos trazido pela alimentação não pode exceder a capacidade de remoção por sedimentação medida no ensaio de proveta.
  • Definições importantes:
    • Fluxo superficial (velocidade de escoamento na superfície): v_0 = Q/A (unidade: \mathrm{m/s}).
    • Fluxo de sólidos trazido pela alimentação por unidade de área: J_{f} = v_0 \, C_f (unidades de massa/área/tempo).
    • A capacidade máxima de remoção por sedimentação é o valor máximo observado do fluxo de sólidos sedimentados J_{\max} no ensaio.
    • Condição de projeto (evitar arraste): J_{f} \le J_{\max}. Assim a velocidade superficial máxima é
    v_{0,\max} = \frac{J_{\max}}{C_f}.
  • Como obter J(t) a partir da proveta:
    • A massa de sólidos por unidade de área na coluna é conservada: m_s = C_0 \, h_0, onde C_0 é a concentração inicial (a alimentação do clarificador) e h_0 a altura inicial da suspensão na proveta.
    • Se em um tempo t a interface está em altura z(t), todos os sólidos estão abaixo dessa interface; a concentração média na camada abaixo da interface é
    C(t)=\frac{m_s}{z(t)}=\frac{C_0\,h_0}{z(t)}.
    • A velocidade de descida da interface é u(t)=-\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} (positiva quando a interface desce).
    • O fluxo de sólidos sedimentados naquele instante por unidade de área é então
    J(t)=u(t)\,C(t) = -\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{C_0\,h_0}{z(t)}.
    • Calcula-se J(t) em todos os intervalos do ensaio (aproximando \mathrm{d}z/\mathrm{d}t por diferenças finitas). O valor máximo observado é J_{\max}.
  • Depois, com v_{0,\max} calculado, obtém-se Q_{\max}=v_{0,\max}\cdot A, onde A é a área da superfície do tanque: A=\frac{\pi D^2}{4}.

Passo 3

Cálculo da massa superficial de sólidos na proveta ( m_s)
  • Converter C_0 para unidades coerentes com cm (porque as alturas da proveta estão em cm): C_0 = 6{,}7\\ \mathrm{g/L} = 0{,}0067\\ \mathrm{g/cm^3}.
  • Altura inicial h_0=30\\ \mathrm{cm}.
  • Então a massa de sólidos por unidade de área: m_s = C_0\,h_0 = 0{,}0067\cdot 30 = 0{,}201\\ \mathrm{g/cm^2}.

Passo 4

Cálculo das concentrações consolidadas C(t) na proveta para cada z
(Fórmula: C(t)=m_s/z(t). Vou apresentar os valores em \mathrm{g/L} para ficar mais intuitivo.)
  • Para z=30\\ \mathrm{cm}: C=\dfrac{0{,}201}{30}=0{,}0067\\ \mathrm{g/cm^3}=6{,}700\\ \mathrm{g/L}.
  • Para z=26{,}5\\ \mathrm{cm}: C=\dfrac{0{,}201}{26{,}5}=0{,}0075868\\ \mathrm{g/cm^3}=7{,}587\\ \mathrm{g/L}.
  • Para z=23{,}2\\ \mathrm{cm}: C=\dfrac{0{,}201}{23{,}2}=0{,}0086638\\ \mathrm{g/cm^3}=8{,}664\\ \mathrm{g/L}.
  • Para z=16{,}6\\ \mathrm{cm}: C=\dfrac{0{,}201}{16{,}6}=0{,}0121084\\ \mathrm{g/cm^3}=12{,}108\\ \mathrm{g/L}.
  • Para z=13{,}5\\ \mathrm{cm}: C=\dfrac{0{,}201}{13{,}5}=0{,}0148889\\ \mathrm{g/cm^3}=14{,}889\\ \mathrm{g/L}.
  • Para z=12{,}4\\ \mathrm{cm}: C=\dfrac{0{,}201}{12{,}4}=0{,}0162097\\ \mathrm{g/cm^3}=16{,}210\\ \mathrm{g/L}.
  • Para z=11{,}2\\ \mathrm{cm}: C=\dfrac{0{,}201}{11{,}2}=0{,}0179464\\ \mathrm{g/cm^3}=17{,}946\\ \mathrm{g/L}.
  • Para z=10{,}4\\ \mathrm{cm}: C=\dfrac{0{,}201}{10{,}4}=0{,}0193269\\ \mathrm{g/cm^3}=19{,}327\\ \mathrm{g/L}.
  • Para z=10{,}2\\ \mathrm{cm}: C=\dfrac{0{,}201}{10{,}2}=0{,}0197059\\ \mathrm{g/cm^3}=19{,}706\\ \mathrm{g/L}.
Observação: as últimas concentrações aproximam-se de C_l=19\\ \mathrm{g/L}, como esperado para a fase de consolidação final.

Passo 5

Cálculo das velocidades de descida da interface \mathrm{d}z/\mathrm{d}t (diferenças finitas) e do fluxo de sólidos J em cada intervalo
  • Trabalho em cada intervalo [t_i,t_{i+1}] usando \dfrac{\Delta z}{\Delta t} (valores em \mathrm{cm/min}). Para estimar o J representativo do intervalo uso a concentração no ponto médio em z (método comum para este tratamento).
Fazer as contas (resumo):
  1. Intervalo 0\to 2{,}5\\ \mathrm{min}:
    \frac{\Delta z}{\Delta t}=\frac{26{,}5-30}{2{,}5}=-1{,}4\\ \mathrm{cm/min}.
    z_{\text{mid}}=28{,}25\\ \mathrm{cm}\Rightarrow C_{\text{mid}}=\dfrac{0{,}201}{28{,}25}=0{,}0071111\\ \mathrm{g/cm^3}.
    J = 1{,}4\cdot 0{,}0071111 = 0{,}0099556\\ \mathrm{g/(cm^2\\ min)}.
  2. Intervalo 2{,}5\to 5\\ \mathrm{min}:
    \frac{\Delta z}{\Delta t}=-1{,}32\\ \mathrm{cm/min},\quad C_{\text{mid}}=0{,}0080891,
J=1{,}32\cdot 0{,}0080891=0{,}0106796\\ \mathrm{g/(cm^2\\ min)}.
  1. Intervalo 5\to 10\\ \mathrm{min}: \frac{\Delta z}{\Delta t}=-1{,}32\\ \mathrm{cm/min},\quad C_{\text{mid}}=0{,}0101005,
J=1{,}32\cdot 0{,}0101005=0{,}0133327\\ \mathrm{g/(cm^2\\ min)}.
  1. Intervalo 10\to 15\\ \mathrm{min}: \frac{\Delta z}{\Delta t}=-0{,}62\\ \mathrm{cm/min},\quad C_{\text{mid}}=0{,}0133588,
J=0{,}62\cdot 0{,}0133588=0{,}0082795\\ \mathrm{g/(cm^2\\ min)}.
  1. Intervalo 15\to 20\\ \mathrm{min}: \frac{\Delta z}{\Delta t}=-0{,}22\\ \mathrm{cm/min},\quad C_{\text{mid}}=0{,}0155236,
J=0{,}22\cdot 0{,}0155236=0{,}0034152\\ \mathrm{g/(cm^2\\ min)}.
  1. Intervalo 20\to 30\\ \mathrm{min}: \frac{\Delta z}{\Delta t}=-0{,}12\\ \mathrm{cm/min},\quad C_{\text{mid}}=0{,}0170339,
J=0{,}12\cdot 0{,}0170339=0{,}0020441\\ \mathrm{g/(cm^2\\ min)}.
  1. Intervalo 30\to 50\\ \mathrm{min}: \frac{\Delta z}{\Delta t}=-0{,}04\\ \mathrm{cm/min},\quad C_{\text{mid}}=0{,}0186111,
J=0{,}04\cdot 0{,}0186111=0{,}0007444\\ \mathrm{g/(cm^2\\ min)}.
  1. Intervalo 50\to 70\\ \mathrm{min}: \frac{\Delta z}{\Delta t}=-0{,}01\\ \mathrm{cm/min},\quad C_{\text{mid}}=0{,}0195155,
J=0{,}01\cdot 0{,}0195155=0{,}0001952\\ \mathrm{g/(cm^2\\ min)}.
  • Observação: o maior valor de J ocorreu no intervalo 5\to 10\\ \mathrm{min}: J_{\max}=0{,}0133327\\ \mathrm{g/(cm^2\\ min)}.

Passo 6

Conversão de unidades para SI e cálculo de v_{0,\max}
  • Conversão: 1\\ \mathrm{g/(cm^2\\ min)} em \mathrm{kg/(m^2\\ s)}: 1\\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^2\\ min}}=\frac{0{,}001\\ \mathrm{kg}}{10^{-4}\\ \mathrm{m^2}\cdot 60\\ \mathrm{s}}=0{,}1666667\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^2\\ s}}.
  • Então J_{\max}=0{,}0133327\\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^2\\ min}}\times 0{,}1666667 =0{,}0022221\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^2\\ s}}.
  • Converter C_f para \mathrm{kg/m^3}: C_f=6{,}7\\ \mathrm{g/L}=6{,}7\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Velocidade superficial máxima: v_{0,\max}=\frac{J_{\max}}{C_f}=\frac{0{,}0022221}{6{,}7}=0{,}00033165\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Cálculo da área do tanque e do caudal máximo Q_{\max}
  • Área da superfície do cilindro: A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi\cdot 23^2}{4}=\;132{,}25\pi\\ \mathrm{m^2}\approx 415{,}475\\ \mathrm{m^2}.
  • Caudal máximo: Q_{\max}=v_{0,\max}\,A = 0{,}00033165\cdot 415{,}475 \approx 0{,}1379\\ \mathrm{m^3/s}.
  • (Para referência, em unidades práticas:) Q_{\max}\approx 0{,}1379\\ \mathrm{m^3/s}\approx 496{,}4\\ \mathrm{m^3/h}\approx 11\,914\\ \mathrm{m^3/d}.

Passo 8

Verificação rápida e interpretação
  • O J_{\max} foi obtido no intervalo em que a concentração consolidada era aproximadamente C\approx 12{,}1\\ \mathrm{g/L} (menor que C_l=19\\ \mathrm{g/L}), portanto o critério de uso de J_{\max} está coerente com as condições experimentais (não se usou um J em ponto já com concentração igual ao lodo final, o que seria inválido).
  • Conclusão prática: para não arrastar sólidos o tanque deve operar com velocidade superficial menor ou igual a v_{0,\max} e, consequentemente, com caudal menor ou igual a Q_{\max} calculado.

Resposta

Q_{\max}\approx 0{,}138\\ \mathrm{m^3/s}

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