Deseja-se medir a potência elétrica P dissipada por um resistor ligado à rede elétrica. Para isso, foram feitas várias medições da resistência elétrica R e da tensão elétrica V da rede. Determinou-se, então, os valores médios e as incertezas padrão dessas grandezas. Os resultados obtidos são: R=(2,5 pm 0,3) Omega e V=(127 pm 1) V. Sabendo que a potência dissipada no resistor é P=V^2 / R, calcule P e a incerteza para essas medidas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um resistor ligado à rede elétrica e queremos saber qual a potência elétrica R = (2,5 pm 0,3) Omega e V = (127 pm 1) V que está sendo dissipada por ele. Para isso, medimos a resistência elétrica P = V^2R e a tensão elétrica da rede várias vezes. Os valores médios e as incertezas padrão dessas medições são:
Sabemos que a potência dissipada no resistor é dada por:
Então, vamos calcular e a incerteza associada a essa medida.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor médio da potência P = V^2R . Usamos a fórmula fornecida:
P = 127^22,5 = 161292,5 = 6451,6 W
Substituindo os valores médios de e :
Então, a potência média é aproximadamente .

Passo 3

Agora, vamos calcular a incerteza na potência sigmaP = raiz( partial Ppartial V cdot sigmaV )^2 + ( partial Ppartial R cdot sigmaR )^2 . Para isso, precisamos aplicar a regra de propagação de incertezas para funções que dependem de múltiplas variáveis. A fórmula geral para a incerteza partial Ppartial V = 2VR em partial Ppartial R = -V^2R^2 é:
Onde:
  • é a incerteza em
  • é a incerteza em
Vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro, com relação a :
E com relação a :

Passo 4

Agora, substituímos os valores na fórmula das derivadas:
Para partial Ppartial V = 2 times 1272,5 = 2542,5 = 101,6 W/V :
partial Ppartial R = -127^22,5^2 = -161296,25 = -2580,64 W/Omega
Para :

Passo 5

Agora, aplicamos esses valores na fórmula da incerteza:
sigmaP = raiz(101,6 times 1)^2 + (-2580,64 times 0,3)^2
Vamos calcular cada termo separadamente:
101,6 times 1 = 101,6
-2580,64 times 0,3 = -774,192
Elevando ao quadrado:
(101,6)^2 = 10323,56
(-774,192)^2 = 599,106
Agora, somamos:
10323,56 + 599,106 = 10922,666
Por fim, tiramos a raiz quadrada:
sigmaP = raiz10922,666 approx 104,5 W

Resposta

A potência dissipada no resistor é P = (6452 pm 105) W com uma incerteza de aproximadamente . Então, podemos expressar a potência como:

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