FIS105 - Fundamentos de Física Experimental - Lista de Exercícios 1
Nas relações abaixo considere que as grandezas x, y e z foram medidas e têm incertezas conhecidas u(x), u(y) e u(z), respectivamente. Além disso, alpha, beta e gamma são constantes. Determine a função que deve ser usada para calcular as incertezas u(A), u(B), u(C), u(D), u(E), u(F), u(G), u(H) e u(I) das grandezas A, B, C, D, E, F, G, H e I em função das grandezas medidas e suas incertezas.
A=beta v+3 y+y, B=yz, C=alpha z y^2, D=7alpha 1z, E=raizxy, F=gamma x y^3z^4,
G=e^beta y, H=x yx+y^prime I=1sen(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui envolve calcular as incertezas nas grandezas $ A, B, C, D, E, F, G, H $ e $ I $ usando as medidas de $ x, y $ e $ z $ que têm incertezas conhecidas $ u(x), u(y) $ e $ u(z) $. Isso tudo faz parte da matéria de Propagação de Incertezas, onde a gente aprende como as incertezas nas medidas influenciam nas incertezas das grandezas derivadas delas. Vamos precisar usar as fórmulas de propagação de incertezas para funções de uma ou mais variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como propagar incertezas. Se temos uma função $ Q = f(x, y, z, \dots) $, a incerteza em $ Q $, $ u(Q) $, pode ser calculada usando:
Q = f(x, y, z, dots)
Isso significa que a incerteza de $ Q $ depende das derivadas parciais de $ f $ em relação a cada variável e das incertezas dessas variáveis.

Passo 3

Vamos calcular a incerteza de $ A $, que é dada por:
A
Primeiro, simplificamos a expressão de $ A $:
A = beta v + 3y + y
Agora, aplicamos a fórmula de propagação de incertezas. As variáveis são $ v $ e $ y $, mas parece que houve um erro no enunciado porque $ v $ não está definido. Supondo que $ v $ seja uma constante ou uma variável com incerteza conhecida, procederemos. Se $ v $ for constante, sua incerteza é zero.
A
Calculando as derivadas:
A = beta v + 4y
Então,
v

Passo 4

Agora, vamos para $ B = \frac{y}{z} $.
Aplicamos a fórmula de propagação para divisão:
B = yz
Isso significa que a incerteza relativa em $ B $ é a raiz quadrada da soma dos quadrados das incertezas relativas em $ y $ e $ z $, multiplicado por $ B $.

Passo 5

Vamos calcular a incerteza de $ C = \alpha z y^{2} $.
Para multiplicação e potenciação, usamos:
C = alpha z y^2
Aqui, o expoente 2 no termo de $ y $ vem do fato de que $ y $ está elevado ao quadrado.

Passo 6

Seguindo para $ D = \frac{7}{\alpha} \frac{1}{z} $.
Essa é uma função de $ z $, então usamos:
D = 7alpha 1z
Isso porque $ D $ é inversamente proporcional a $ z $, e a constante $ \frac{7}{\alpha} $ não contribui para a incerteza.

Passo 7

Agora, $ E = \sqrt{ \frac{x}{y} } $.
Para funções com raiz quadrada, a incerteza é:
E = raiz xy
Simplificando:
u(E) = 12 raiz xy raiz ( u(x)x )^2 + ( u(y)2y )^2

Passo 8

Vamos para $ F = \frac{ \gamma x y^{3} }{ z^{4} } $.
Aqui, temos multiplicação e potenciação de $ y $ e $ z $:
F = gamma x y^3 z^4

Passo 9

Agora, $ G = e^{\beta y} $.
Para funções exponenciais, a incerteza é:
G = e^beta y
Isso porque a derivada de $ e^{\beta y} $ em relação a $ y $ é $ \beta e^{\beta y} $.

Passo 10

Vamos para $ H = \frac{ x y }{ x + y’ } $.
Assumindo que $ y’ $ é uma função conhecida ou uma constante sem incerteza, a incerteza em $ H $ depende de $ x $ e $ y $:
H = x y x + y'
Se $ y’ $ tiver incerteza, precisaríamos incluir mais termos, mas com as informações dadas, essa é a forma.

Passo 11

Por fim, $ I = \frac{1}{\sin(x)} $.
Para funções trigonométricas, usamos:
I = 1sin(x)
Isso vem da derivada de $ \frac{1}{\sin(x)} $ em relação a $ x $, que é $ -\frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)} $.

Resposta

As incertezas são:
u(A) &= raiz (beta , u(v))^2 + (4 , u(y))^2 u(B) &= yz raiz ( u(y)y )^2 + ( u(z)z )^2 u(C) &= alpha z y^2 raiz ( u(z)z )^2 + ( 2 u(y)y )^2 u(D) &= 7alpha z ( u(z)z ) u(E) &= 12 raiz xy raiz ( u(x)x )^2 + ( u(y)2y )^2 u(F) &= gamma x y^3 z^4 raiz ( u(x)x )^2 + ( 3 u(y)y )^2 + ( 4 u(z)z )^2 u(G) &= | e^beta y beta | , u(y) u(H) &= x y x + y' raiz ( u(x)x )^2 + ( u(y)y )^2 u(I) &= | cos(x) sin^2(x) | u(x)

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