Deseja-se mostrar agora que a sequência é limitada, uma vez que assim pode-se aplicar o teorema 7 e garantir que a sequência converge.
Note que como a sequência é crescente, todos seus termos serão maiores que a_{1}, ou seja,
a_{n} \geq a_{1}=2
Consequentemente, a sequência é inferiormente limitada.
Conforme visto nos primeiros termos da sequência, ela aparenta estar limitada superiormente pelo valor 6 .
Por segurança, mostrar-se-á que a sequência é limitada superiormente por 10, também pelo processo de indução:
  1. Caso base: n=1
Note que
a_{1}=2<10

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que se pede (sem resolver ainda). O enunciado fornece:
  • A sequência é crescente.
  • a_{1}=2.
  • Já foi observado que a_{n}\ge a_{1}=2 (logo há limite inferior).
  • Deseja-se mostrar por indução que a sequência é limitada superiormente por 10.
  • Foi verificado o caso base n=1: a_{1}=2<10.
O que falta para prosseguir: a relação que define a_{n+1} em função de termos anteriores (ou uma fórmula explícita para a_n). Sem essa relação não está completamente especificado como passar do passo n para n+1.

Passo 2

Por que essa relação é necessária. Para fazer a etapa indutiva típica (assumir a_{k}<10 e deduzir a_{k+1}<10) precisamos de uma expressão que nos permita escrever a_{k+1} em função de a_{k} (ou de alguns termos anteriores). Em termos gerais, se existir uma função g tal que
a_{n+1}=g(a_n)
então a prova indutiva costuma seguir deste molde:
  • Hipótese indutiva: suponha a_k<10.
  • Usar a relação a_{k+1}=g(a_k) e propriedades de g (por exemplo monotonicidade ou desigualdades que envolvam g) para obter a_{k+1}<10.
Sem conhecer essa g (ou a forma da recorrência), não há como concretizar a desigualdade a_{k+1}<10, porque pode acontecer que g aumente demais o valor e que a desigualdade não se mantenha.

Passo 3

Estratégia geral e condições que garantem a passagem indutiva. Aqui mostro, didaticamente, as ideias que normalmente se usam na prova por indução de uma cota superior 10. Suponha que exista g com a_{n+1}=g(a_n). Duas maneiras padrão de concluir a etapa indutiva:
  1. Usar monotonicidade de g. Se g for crescente e se g(10)\le 10, então, a partir de a_k<10 segue
a_{k+1}=g(a_k)<g(10)\le 10,
que fecha a etapa indutiva.
  1. Usar uma desigualdade linear de “contracção”. Se houver constantes \alpha,\beta com 0\le\alpha<1 tal que
g(x)\le \alpha x + \beta\quad\text{para todo }x\le 10,
e se além disso \alpha\cdot 10 + \beta \le 10, então, supondo a_k<10,
a_{k+1}=g(a_k)\le \alpha a_k + \beta < \alpha\cdot 10 + \beta \le 10,
o que fecha a indução. Essa técnica é útil quando g não é facilmente comparável com g(10), mas pode ser majorada por uma expressão linear com coeficiente \alpha<1.

Passo 4

Exemplos concretos (para aprender a aplicar na prova)
Exemplo A — caso linear simples. Se a recorrência for
a_{n+1}=\alpha a_n+\beta
com 0\le \alpha<1 e \alpha\cdot 10+\beta\le 10, então a etapa indutiva é imediata: assumindo a_k<10,
a_{k+1}=\alpha a_k+\beta<\alpha\cdot 10+\beta\le 10.
Observação: muitas provas aceitam mostrar \le 10 em vez de <10; basta ajustar o início (caso base) para a_1\le 10.
Exemplo B — caso com raiz quadrada. Se a recorrência for
a_{n+1}=\sqrt{a_n+c}
com c\ge 0, então g(x)=\sqrt{x+c} é crescente. Pelo argumento do Passo 3, se mostrarmos que g(10)=\sqrt{10+c}\le 10 (isto é, c\le 90), então a indução funciona: supondo a_k<10,
a_{k+1}=g(a_k)<g(10)\le 10.
Portanto, basta verificar a condição sobre c.
Exemplo C — caso em que g(10)=10. Se a_{n+1}=g(a_n) e g é crescente com g(10)=10, então a hipótese a_k\le 10 implica a_{k+1}\le 10. Para obter estrita desigualdade <10 pode ser preciso mostrar que a_1<10 e que g(x)<g(10) para todo x<10 (ou aceitar o resultado em forma de \le 10, que muitas vezes basta para mostrar convergência).

Passo 5

Conclusão prática para o seu caso e o que verificar no enunciado. Com base no que está escrito no enunciado parcial que você forneceu:
  • O caso base a_{1}=2<10 já foi checado corretamente.
  • Para completar a prova indutiva é necessário usar a relação que define a_{n+1} (isto é, saber explicitamente como calcular a_{n+1} a partir de a_n ou de termos anteriores).
Portanto, para terminar a prova por indução no seu enunciado, localize a recorrência (por exemplo algo do tipo a_{n+1}=g(a_n) ou uma fórmula equivalente) e verifique uma das condições que mostrei:
  • que g é crescente e g(10)\le 10; ou
  • que existe uma cota linear g(x)\le \alpha x+\beta com \alpha<1 e \alpha\cdot 10+\beta\le 10; ou
  • outro argumento que entregue a_{n+1}<10 assumindo a_n<10.
Se quiser, cole aqui a recorrência completa e eu faço a etapa indutiva rigorosa passo a passo (mostrando cada desigualdade). Força — já foi bem longe estabilizando o caso base e percebendo a monotonicidade!

Resposta

Não é possível concluir a etapa indutiva sem a relação de recorrência que define a_{n+1} em função dos termos anteriores.

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