Deseja-se mostrar agora que a sequência é limitada, uma vez que assim pode-se aplicar o teorema 7 e garantir que a sequência converge.
Note que como a sequência é crescente, todos seus termos serão maiores que
, ou seja,
Consequentemente, a sequência é inferiormente limitada.
Conforme visto nos primeiros termos da sequência, ela aparenta estar limitada superiormente pelo valor 6 .
Por segurança, mostrar-se-á que a sequência é limitada superiormente por 10, também pelo processo de indução:
- Caso base:
Note que
Por segurança, mostrar-se-á que a sequência é limitada superiormente por 10, também pelo processo de indução:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que se pede (sem resolver ainda). O enunciado fornece:
- A sequência é crescente.
-
. - Já foi observado que
(logo há limite inferior). - Deseja-se mostrar por indução que a sequência é limitada superiormente por
. - Foi verificado o caso base
: .
O que falta para prosseguir: a relação que define
em função de termos anteriores (ou uma fórmula explícita para
). Sem essa relação não está completamente especificado como passar do passo
para
.
Passo 2
Por que essa relação é necessária. Para fazer a etapa indutiva típica (assumir
e deduzir
) precisamos de uma expressão que nos permita escrever
em função de
(ou de alguns termos anteriores). Em termos gerais, se existir uma função
tal que
então a prova indutiva costuma seguir deste molde:
- Hipótese indutiva: suponha
. - Usar a relação
e propriedades de (por exemplo monotonicidade ou desigualdades que envolvam ) para obter .
Sem conhecer essa
(ou a forma da recorrência), não há como concretizar a desigualdade
, porque pode acontecer que
aumente demais o valor e que a desigualdade não se mantenha.
Passo 3
Estratégia geral e condições que garantem a passagem indutiva. Aqui mostro, didaticamente, as ideias que normalmente se usam na prova por indução de uma cota superior
. Suponha que exista
com
. Duas maneiras padrão de concluir a etapa indutiva:
- Usar monotonicidade de
. Se for crescente e se , então, a partir de segue
que fecha a etapa indutiva.
- Usar uma desigualdade linear de “contracção”. Se houver constantes
com tal que
e se além disso
, então, supondo
,
o que fecha a indução. Essa técnica é útil quando
não é facilmente comparável com
, mas pode ser majorada por uma expressão linear com coeficiente
.
Passo 4
Exemplos concretos (para aprender a aplicar na prova)
Exemplo A — caso linear simples. Se a recorrência for
com
e
, então a etapa indutiva é imediata: assumindo
,
Observação: muitas provas aceitam mostrar
em vez de
; basta ajustar o início (caso base) para
.
Exemplo B — caso com raiz quadrada. Se a recorrência for
com
, então
é crescente. Pelo argumento do Passo 3, se mostrarmos que
(isto é,
), então a indução funciona: supondo
,
Portanto, basta verificar a condição sobre
.
Exemplo C — caso em que
. Se
e
é crescente com
, então a hipótese
implica
. Para obter estrita desigualdade
pode ser preciso mostrar que
e que
para todo
(ou aceitar o resultado em forma de
, que muitas vezes basta para mostrar convergência).
Passo 5
Conclusão prática para o seu caso e o que verificar no enunciado. Com base no que está escrito no enunciado parcial que você forneceu:
- O caso base
já foi checado corretamente. - Para completar a prova indutiva é necessário usar a relação que define
(isto é, saber explicitamente como calcular a partir de ou de termos anteriores).
Portanto, para terminar a prova por indução no seu enunciado, localize a recorrência (por exemplo algo do tipo
ou uma fórmula equivalente) e verifique uma das condições que mostrei:
- que
é crescente e ; ou - que existe uma cota linear
com e ; ou - outro argumento que entregue
assumindo .
Se quiser, cole aqui a recorrência completa e eu faço a etapa indutiva rigorosa passo a passo (mostrando cada desigualdade). Força — já foi bem longe estabilizando o caso base e percebendo a monotonicidade!
Resposta
Não é possível concluir a etapa indutiva sem a relação de recorrência que define
em função dos termos anteriores.